Qual a derivada da tg²x?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada da função $ \tan^2 x $. Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, onde aprendemos a calcular derivadas de funções, especialmente funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia, que é uma técnica fundamental para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é $ \tan^2 x $. Essa expressão significa que estamos elevando a função tangente ao quadrado. Ou seja, $ \tan^2 x = (\tan x)^2 $. Como temos uma função (tangente) dentro de outra função (quadrado), precisamos usar a regra da cadeia para derivar.

Passo 3

A regra da cadeia nos diz que, se temos uma função composta $ f(g(x)) $, a derivada dela é $ f’(g(x)) \cdot g’(x) $. No nosso caso, $ f(u) = u^2 $ e $ g(x) = \tan x $. Então, vamos derivar cada parte separadamente.

Passo 4

Primeiro, derivamos $ f(u) = u^2 $. A derivada de $ u^2 $ em relação a $ u $ é $ 2u $.
Agora, derivamos $ g(x) = \tan x $. A derivada de $ \tan x $ é $ \sec^2 x $ (isso é uma identidade trigonométrica que aprendemos no estudo das derivadas das funções trigonométricas).

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, juntamos as derivadas que encontramos:
ddx (tan^2 x) = 2 tan x cdot sec^2 x

Resposta

Então, a derivada de $ \tan^2 x $ é $ 2 \tan{x} \cdot \sec^{2}{x} $.

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