2.7.7.2 Resolução de equações diferenciais ordinárias de coeficientes constantes Exemplo 2.7.16. Use a transformada de Laplace para encontrar y(t) :
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0, y(0)=1, y^{\prime}(0)=1,

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de coeficientes constantes
y'' + 2y' + y = 0,
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=1, usando a transformada de Laplace. Vamos denotar por Y(s) a transformada de Laplace de y(t) e aplicar as propriedades de transformada de derivadas.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados de
y'' + 2y' + y = 0
e usando
\mathcal{L}\{y''\} = s^2Y(s) - s\,y(0) - y'(0),\quad \mathcal{L}\{y'\} = s\,Y(s) - y(0),\quad \mathcal{L}\{y\} = Y(s),
obtemos
\bigl(s^2Y(s) - s\cdot1 - 1\bigr) + 2\bigl(sY(s) - 1\bigr) + Y(s) = 0.

Passo 3

Agrupando os termos em Y(s) e os termos constantes:
\bigl(s^2 + 2s + 1\bigr)Y(s) \;-\;(s + 1 + 2) \;=\; 0 \quad\Longrightarrow\quad (s+1)^2\,Y(s) = s + 3.
Logo,
Y(s) = \frac{s+3}{(s+1)^2}.

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais
\frac{s+3}{(s+1)^2} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{(s+1)^2}.
Multiplicando por (s+1)^2 e comparando coeficientes em s:
A(s+1) + B = s + 3 \quad\Longrightarrow\quad A = 1,\quad A + B = 3 \;\Rightarrow\; B = 2.
Assim,
Y(s) = \frac{1}{s+1} + \frac{2}{(s+1)^2}.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa de Laplace em cada termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{s+1}\Bigr\} = e^{-t}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{(s+1)^2}\Bigr\} = t\,e^{-t}.
Logo,
y(t) = e^{-t} + 2\,t\,e^{-t} = \bigl(1 + 2t\bigr)e^{-t}.

Resposta

y(t) = \bigl(1 + 2t\bigr)e^{-t}.

Exercícios relacionados