Exemplo 2.7.9. Calcule
L^{-1}\left(\frac{1}{(s-3)^{5}}\right)

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de \displaystyle \frac{1}{(s-3)^{5}}. Para resolver, vamos usar a propriedade da transformada de Laplace
\mathcal{L}\{t^n e^{a t}\} \;=\;\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}.

Passo 2

Comparando
\frac{1}{(s-3)^{5}} \quad\text{com}\quad \frac{n!}{(s-a)^{n+1}},
vemos que a=3 e n+1=5, logo n=4 e n!=4!=24.

Passo 3

Reescrevendo a expressão em função de \mathcal{L}\{t^4e^{3t}\}, temos
\frac{1}{(s-3)^{5}} = \frac{1}{4!}\,\frac{4!}{(s-3)^{5}} = \frac{1}{4!}\,\mathcal{L}\{t^4e^{3t}\}.

Passo 4

Aplicando a transformada inversa, obtemos
\mathcal{L}^{-1}\Bigl(\frac{1}{(s-3)^{5}}\Bigr) = \frac{1}{4!}\,t^4e^{3t}.

Resposta

\displaystyle \frac{t^4e^{3t}}{24}

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