Derivada de y=arc cotg(sen x).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y = arc cotg(sen x). Vamos usar conteúdos de derivadas de funções inversas trigonométricas e a regra da cadeia.

Passo 2

Para a função y = arc cotg(u), a derivada em relação a u é dada por: d/du[arc cotg(u)] = -1/(1 + u^2).

Passo 3

Precisamos também da derivada de u = sen x. Sabendo que d/dx[sen x] = cos x, temos u’ = cos x.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia: y’ = d/du[arc cotg(u)] · u’ = -1/(1 + u^2) · cos x, com u = sen x. Portanto y’ = -cos x/(1 + sen^2 x).

Resposta

-\frac{\cos x}{1 + \sin^2 x}

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