Derivada de
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada de y = arc cotg(sen x). Vamos usar conteúdos de derivadas de funções inversas trigonométricas e a regra da cadeia.
Passo 2
Para a função y = arc cotg(u), a derivada em relação a u é dada por: d/du[arc cotg(u)] = -1/(1 + u^2).
Passo 3
Precisamos também da derivada de u = sen x. Sabendo que d/dx[sen x] = cos x, temos u’ = cos x.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia: y’ = d/du[arc cotg(u)] · u’ = -1/(1 + u^2) · cos x, com u = sen x. Portanto y’ = -cos x/(1 + sen^2 x).
Resposta
-\frac{\cos x}{1 + \sin^2 x}