Calcule integralC F cdot d r onde F(x, y)=3 y i+(x^2-y) j e C consiste na metade superior da circunferência de raio 1 com centro na origem de (1,0) a (-1,0) e no arco de parábola y=x^2-1 de x=-1 a x=1.

Passo 1

Temos que calcular a integral de linha integralCvec Fcdot dvec r, onde o campo é vec F(x,y)=3y,vec i+(x^2-y),vec j e o caminho C é fechado, composto por duas partes: a semicircunferência superior de raio 1 (de (1,0) a (-1,0)) e o arco da parábola y=x^2-1 (de (-1,0) a (1,0)). Vamos usar a definição
integralCvec Fcdot dvec r=integralC P,dx+Q,dy
e parametrizar cada trecho.

Passo 2

Parametrizamos a semicircunferência por
x=cos t, y=sin t, tin[0,pi],
então
dx=-sin t,dt, dy=cos t,dt, P=3y=3sin t, Q=x^2-y=cos^2t-sin t
O produto escalar é
P,dx+Q,dy=(3sin t)(-sin t)+(cos^2t-sin t)(cos t) =-3sin^2t+cos^3t-sin tcos t
Integramos de 0 a pi:
integral0^pi(-3sin^2t+cos^3t-sin tcos t),dt=-3pi2

Passo 3

Para o arco da parábola, usamos
x=t, y=t^2-1, tin[-1,1],
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dx=dt, dy=2t,dt, P=3y=3(t^2-1), Q=x^2-y=t^2-(t^2-1)=1
Assim
P,dx+Q,dy=[3(t^2-1)+2t]dt=(3t^2-3+2t)dt
Integrando de -1 a +1:
integral-1^1(3t^2-3+2t)dt=-4

Passo 4

Somando as duas partes, obtemos
integralCvec Fcdot dvec r=-3pi2+(-4)=-3pi2-4

Resposta

-\frac{3\pi}{2}-4

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