Calcule
onde
e
consiste na metade superior da circunferência de raio 1 com centro na origem de
a
e no arco de parábola
de
a
.
Passo 1
Temos que calcular a integral de linha
, onde o campo é
e o caminho
é fechado, composto por duas partes: a semicircunferência superior de raio 1 (de
a
) e o arco da parábola
(de
a
). Vamos usar a definição
e parametrizar cada trecho.
Passo 2
Parametrizamos a semicircunferência por
então
O produto escalar é
Integramos de 0 a
:
Passo 3
Para o arco da parábola, usamos
logo
Assim
Integrando de
a
:
Passo 4
Somando as duas partes, obtemos
Resposta
-\frac{3\pi}{2}-4