Derivada de y=arcsen(1-x).

Passo 1

O exercício pede para calcular a derivada de y=arcsin(1-x). Vamos usar teoria de derivada de função composta, especificamente a regra da cadeia e a derivada da função arcsin.

Passo 2

Definimos u=1-x para simplificar. Assim reescrevemos y=arcsin(u).

Passo 3

Sabemos que a derivada de arcsin(u) em relação a u é
ddul(arcsin(u)r)=1raiz1-u^2
E a derivada de u=1-x em relação a x é
dudx=-1.

Passo 4

Pela regra da cadeia, temos
dydx=ddul(arcsin(u)r)cdotdudx=-1cdot1raiz1-u^2=-1raiz1-(1-x)^2
Para simplificar o radicando, note que
$$
1-(1-x)2=1-(1-2x+x2)=2x-x^2
1-(1-x)^2=1-(1-2x+x^2)=2x-x^2 \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{2x-x^2}}.$$

Resposta

-1/raiz2x - x^2

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