Derive as funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada juntos! A questão pede pra gente derivar a função $ g(x) = \sqrt[3]{x} \cdot \sin(x) $. Para isso, vamos precisar usar a regra do produto, que é usada quando temos uma função que é o produto de duas outras funções. Vamos passo a passo entender como aplicar essa regra.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função $ g(x) $ de uma forma que fique mais fácil de trabalhar. Sabemos que $ \sqrt[3]{x} $ é o mesmo que $ x^{1/3} $. Então, nossa função fica:
Passo 3
Agora, vamos lembrar da regra do produto para derivadas. Se temos uma função $ h(x) = f(x) \cdot g(x) $, a derivada $ h’(x) $ é:
Isso significa que a derivada do produto é a derivada da primeira função vezes a segunda, mais a primeira função vezes a derivada da segunda.
Passo 4
Aplicando isso na nossa função $ g(x) = x^{1/3} \cdot \sin(x) $, vamos identificar:
- $ f(x) = x^{1/3} $
- $ g(x) = \sin(x) $
Primeiro, precisamos derivar $ f(x) $ e $ g(x) $.
Passo 5
Vamos derivar $ f(x) = x^{1/3} $. Usamos a regra do poder para derivadas, que diz que se $ f(x) = x^n $, então $ f’(x) = n \cdot x^{n-1} $. Então:
Passo 6
Agora, vamos derivar $ g(x) = \sin(x) $. A derivada de $ \sin(x) $ é $ \cos(x) $:
Passo 7
Com as derivadas de $ f(x) $ e $ g(x) $ em mãos, vamos aplicar a regra do produto:
Substituindo:
Passo 8
Podemos simplificar a expressão para deixar mais bonita:
Resposta
A derivada da função é: