Derive as funções abaixo:
g(x)=raiz[3]x sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada juntos! A questão pede pra gente derivar a função $ g(x) = \sqrt[3]{x} \cdot \sin(x) $. Para isso, vamos precisar usar a regra do produto, que é usada quando temos uma função que é o produto de duas outras funções. Vamos passo a passo entender como aplicar essa regra.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função $ g(x) $ de uma forma que fique mais fácil de trabalhar. Sabemos que $ \sqrt[3]{x} $ é o mesmo que $ x^{1/3} $. Então, nossa função fica:
g(x)

Passo 3

Agora, vamos lembrar da regra do produto para derivadas. Se temos uma função $ h(x) = f(x) \cdot g(x) $, a derivada $ h’(x) $ é:
h(x) = f(x) cdot g(x)
Isso significa que a derivada do produto é a derivada da primeira função vezes a segunda, mais a primeira função vezes a derivada da segunda.

Passo 4

Aplicando isso na nossa função $ g(x) = x^{1/3} \cdot \sin(x) $, vamos identificar:
  • $ f(x) = x^{1/3} $
  • $ g(x) = \sin(x) $
Primeiro, precisamos derivar $ f(x) $ e $ g(x) $.

Passo 5

Vamos derivar $ f(x) = x^{1/3} $. Usamos a regra do poder para derivadas, que diz que se $ f(x) = x^n $, então $ f’(x) = n \cdot x^{n-1} $. Então:
f(x) = x^1/3

Passo 6

Agora, vamos derivar $ g(x) = \sin(x) $. A derivada de $ \sin(x) $ é $ \cos(x) $:
g(x) = sin(x)

Passo 7

Com as derivadas de $ f(x) $ e $ g(x) $ em mãos, vamos aplicar a regra do produto:
f(x)
Substituindo:
g(x)

Passo 8

Podemos simplificar a expressão para deixar mais bonita:
g'(x) = sin(x)3x^2/3 + x^1/3 cdot cos(x)

Resposta

A derivada da função é:
g'(x) = sin(x)3x^2/3 + x^1/3 cdot cos(x)

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