Derivada de y=arctg(cos 3 x).

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função composta y=arctg(cos 3x). O conteúdo é derivada de arctan(u) e regra da cadeia; vamos precisar da fórmula d/dx[arctg(u)] = u’/(1+u²) e da derivada de cos 3x.

Passo 2

Definimos u = cos 3x, então y = arctg(u). Pela regra da cadeia temos y’ = u’/(1+u²).

Passo 3

Calculamos u’ = d/dx[cos 3x]. Sabendo que d/dx[cos t] = −sin t · t’, com t=3x e t’=3, resulta u’ = −3 sin(3x).

Passo 4

Substituímos em y’ = u’/(1+u²) com u = cos 3x e u’ = −3 sin(3x), ficando y’ = −3 sin(3x)/(1+cos²(3x)).

Resposta

-3sin(3x)1+cos^2(3x)

Exercícios relacionados