Derivada de y=arcsen(1-x^wed>= 2).

Passo 1

O problema pede a derivada de y = arcsen(1 - x^2). O conteúdo principal é derivadas de funções compostas e a derivada da função . Vamos usar a regra da cadeia e a fórmula .

Passo 2

Aplicamos a regra da cadeia: se , então
y = arcsen(u(x))
Aqui dydx = 1raiz1 - u(x)^2 cdot u'(x) .

Passo 3

Calculamos a derivada interna:
u(x) = 1 - x^2 Longrightarrow u'(x) = -2x

Passo 4

Substituímos em dydx:
dydx = 1raiz1 - (1 - x^2)^2 cdot (-2x) = -2xraiz1 - (1 - x^2)^2

Passo 5

Podemos simplificar o radicando:
1 - (1 - x^2)^2 = 1 - (1 - 2x^2 + x^4) = 2x^2 - x^4 = x^2(2 - x^2)
Logo,
dydx = -2xraizx^2(2 - x^2) = -2x|x|raiz2 - x^2
Dependendo do sinal de x, pode-se expressar de forma mais simples em cada região do domínio.

Passo 6

A forma geral e mais direta da derivada é
dydx = -2xraiz1 - (1 - x^2)^2

Resposta

-2xraiz1 - (1 - x^2)^2

Exercícios relacionados