Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções no ponto com a abscissa a indicada:
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Passo 1
Beleza, a gente tem que achar a equação da reta tangente ao gráfico da função $ g(t) = \sqrt{2t + 3} $ no ponto onde a abscissa $ a = -1 $. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente a derivada da função, que nos dá a inclinação da reta tangente em um ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de $ g(t) $ quando $ t = -1 $. Isso nos dá o ponto específico no gráfico onde vamos calcular a reta tangente.
Então, o ponto de tangência é $ (-1, 1) $.
Passo 3
Agora, precisamos achar a derivada da função $ g(t) = \sqrt{2t + 3} $. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente naquele ponto. Vamos usar a regra da cadeia para derivar essa função.
Sabemos que $ \sqrt{u} $ tem derivada $ \frac{1}{2\sqrt{u}} $ e a derivada de $ u = 2t + 3 $ é 2. Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada no ponto $ t = -1 $ para encontrar a inclinação da reta tangente.
Então, a inclinação $ m $ da reta tangente é 1.
Passo 5
Com a inclinação $ m = 1 $ e o ponto de tangência $ (-1, 1) $, podemos usar a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da reta tangente é $ y = x + 2 $.