Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções no ponto com a abscissa a indicada:
g(t)=raiz2 t+3 ; a=-1.

Passo 1

Beleza, a gente tem que achar a equação da reta tangente ao gráfico da função $ g(t) = \sqrt{2t + 3} $ no ponto onde a abscissa $ a = -1 $. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente a derivada da função, que nos dá a inclinação da reta tangente em um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de $ g(t) $ quando $ t = -1 $. Isso nos dá o ponto específico no gráfico onde vamos calcular a reta tangente.
g(t)
Então, o ponto de tangência é $ (-1, 1) $.

Passo 3

Agora, precisamos achar a derivada da função $ g(t) = \sqrt{2t + 3} $. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente naquele ponto. Vamos usar a regra da cadeia para derivar essa função.
Sabemos que $ \sqrt{u} $ tem derivada $ \frac{1}{2\sqrt{u}} $ e a derivada de $ u = 2t + 3 $ é 2. Então,
g(t) = raiz2t + 3

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada no ponto $ t = -1 $ para encontrar a inclinação da reta tangente.
t = -1
Então, a inclinação $ m $ da reta tangente é 1.

Passo 5

Com a inclinação $ m = 1 $ e o ponto de tangência $ (-1, 1) $, podemos usar a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
m = 1
Substituindo os valores:
(-1, 1)

Resposta

A equação da reta tangente é $ y = x + 2 $.

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