Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções no ponto com a abscissa a indicada:
ell(x)=ln (x)+1 ; a=e.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função ell(x) = ln(x) + 1 no ponto onde x = e. Isso envolve conceitos de cálculo, mais especificamente de derivadas, que nos ajudam a achar a inclinação da reta tangente. Vamos precisar calcular o valor da função no ponto x = e e a derivada dela nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o valor da função no ponto x = e. Substituindo e na função ell(x), temos:
ell(e) = ln(e) + 1
Sabemos que ln(e) = 1, então:
ell(e) = 1 + 1 = 2
Então, o ponto de tangência é (e, 2).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Para isso, vamos calcular a derivada da função ell(x). A derivada de ln(x) é 1/x, e a derivada de uma constante é 0. Então:
ell'(x) = 1x
Em x = e, a derivada é:
ell'(e) = 1e
Portanto, a inclinação da reta tangente é 1/e.

Passo 4

Com o ponto (e, 2) e a inclinação 1/e, podemos usar a fórmula da equação da reta:
y - y0 = m(x - x0)
Substituindo os valores:
y - 2 = 1e(x - e)

Passo 5

Podemos simplificar essa equação para deixá-la mais elegante. Vamos distribuir o 1e:
y - 2 = 1ex - ee
Como ee = 1, temos:
y - 2 = 1ex - 1
Agora, somamos 2 em ambos os lados:
y = 1ex - 1 + 2
y = 1ex + 1

Resposta

A equação da reta tangente é:
y = 1ex + 1

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