Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções no ponto com a abscissa a indicada:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto onde
. Isso envolve conceitos de cálculo, mais especificamente de derivadas, que nos ajudam a achar a inclinação da reta tangente. Vamos precisar calcular o valor da função no ponto
e a derivada dela nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o valor da função no ponto
. Substituindo
na função
, temos:
Sabemos que
, então:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Para isso, vamos calcular a derivada da função
. A derivada de
é
, e a derivada de uma constante é 0. Então:
Em
, a derivada é:
Portanto, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 4
Com o ponto
e a inclinação
, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Passo 5
Podemos simplificar essa equação para deixá-la mais elegante. Vamos distribuir o
:
Como
, temos:
Agora, somamos 2 em ambos os lados:
Resposta
A equação da reta tangente é: