Derivada de y=sen x / arcsen x.

Passo 1

A questão pede para encontrar a derivada da função y = sen xarcsen x. O conteúdo principal aqui é cálculo de derivadas, em especial o uso da regra do quociente, além de sabermos as derivadas de sen x e de arcsen x.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar as derivadas básicas que precisamos: a derivada de sen x é cos x e a derivada de arcsen x é 1raiz1 - x^2. Isso vem do estudo das funções trigonométricas inversas e de suas derivadas.

Passo 3

Em seguida, aplicamos a regra do quociente para duas funções u(x) e v(x):
ddxl(uvr) = u',v - u,v'v^2

Passo 4

Agora, identifique u(x) = sen x e v(x) = arcsen x. Então temos:
  • u'(x) = cos x
  • v'(x) = 1raiz1 - x^2

Passo 5

Substituindo na regra do quociente, obtemos:
y' = cos x cdot arcsen x - sen x cdot 1raiz1 - x^2l(arcsen xr)^2

Resposta

y' = cos x,arcsen x - dfracsen xraiz1 - x^2l(arcsen xr)^2

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