(Derivadas) Calcule a derivada de:
f(x)=3 x^2+sin (x)e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função $ f(x) = \frac{3x^{2} + \sin(x)}{e^{x}} $. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas, especificamente usando a Regra do Quociente, que é usada quando temos uma função que é o quociente de duas outras funções. Para isso, vamos precisar conhecer as derivadas básicas de funções polinomiais, trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão no quociente. No nosso caso, temos:
  • Numerador: $ u(x) = 3x^{2} + \sin(x) $
  • Denominador: $ v(x) = e^{x} $

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $.
Para $ u(x) = 3x^{2} + \sin(x) $:
  • A derivada de $ 3x^{2} $ é $ 6x $ (usando a regra do poder, que diz que $ \frac{d}{dx}x^{n} = nx^{n-1} $).
  • A derivada de $ \sin(x) $ é $ \cos(x) $ (conhecida regra trigonométrica).
Então, $ u’(x) = 6x + \cos(x) $.
Para $ v(x) = e^{x} $:
  • A derivada de $ e^{x} $ é $ e^{x} $ (a própria função exponencial é igual à sua derivada).
Então, $ v’(x) = e^{x} $.

Passo 4

Com $ u’(x) $ e $ v’(x) $ calculadas, vamos aplicar a Regra do Quociente para encontrar $ f’(x) $. A regra é dada por:
u'(x)
Substituindo os valores:
v'(x)

Passo 5

Vamos simplificar a expressão. Primeiro, note que $ e^{x} $ é comum no numerador:
e^x
Como $ e^{x} / e^{2x} = e^{-x} $, ficamos com:
f'(x) = e^x(6x + cos(x) - 3x^2 - sin(x))e^2x

Resposta

A derivada de $ f(x) = \frac{3x^{2} + \sin(x)}{e^{x}} $ é:
f(x) = 3x^2 + sin(x)e^x

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