(Derivadas) Calcule a derivada de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função $ f(x) = \frac{3x^{2} + \sin(x)}{e^{x}} $. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas, especificamente usando a Regra do Quociente, que é usada quando temos uma função que é o quociente de duas outras funções. Para isso, vamos precisar conhecer as derivadas básicas de funções polinomiais, trigonométricas e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão no quociente. No nosso caso, temos:
- Numerador: $ u(x) = 3x^{2} + \sin(x) $
- Denominador: $ v(x) = e^{x} $
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $.
Para $ u(x) = 3x^{2} + \sin(x) $:
- A derivada de $ 3x^{2} $ é $ 6x $ (usando a regra do poder, que diz que $ \frac{d}{dx}x^{n} = nx^{n-1} $).
- A derivada de $ \sin(x) $ é $ \cos(x) $ (conhecida regra trigonométrica).
Então, $ u’(x) = 6x + \cos(x) $.
Para $ v(x) = e^{x} $:
- A derivada de $ e^{x} $ é $ e^{x} $ (a própria função exponencial é igual à sua derivada).
Então, $ v’(x) = e^{x} $.
Passo 4
Com $ u’(x) $ e $ v’(x) $ calculadas, vamos aplicar a Regra do Quociente para encontrar $ f’(x) $. A regra é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão. Primeiro, note que $ e^{x} $ é comum no numerador:
Como $ e^{x} / e^{2x} = e^{-x} $, ficamos com:
Resposta
A derivada de $ f(x) = \frac{3x^{2} + \sin(x)}{e^{x}} $ é: