Use a transformada de Laplace para resolver os PVIs a seguir:
ll0, & 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI y''+2y'+2y=h(x) com y(0)=0, y'(0)=1 e h(x) definido em partes. O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com forçamento descontínuo, e vamos usar a transformada de Laplace e a função degrau para tratar o h(x).

Passo 2

A função h(x) vale zero em 0, vale 1 em π<= x<2π e volta a zero para x2π. Podemos reescrever usando a função degrau u(x-a):
h(x)=u(x-π)-u(x-2π)

Passo 3

Vamos aplicar a transformada de Laplace na EDO. Chamando Y(s)=Ly(x), temos:
Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)=s^2Y(s)-1, Ly'=sY(s)-y(0)=sY(s), Ly=Y(s)
Logo,
(s^2Y(s)-1)+2(sY(s)) +2Y(s)=e^-πss-e^-2πss

Passo 4

Isolando Y(s) obtemos:
Y(s)(s^2+2s+2)=1+e^-πss-e^-2πss
Portanto
Y(s)=1s^2+2s+2+e^-πss(s^2+2s+2)-e^-2πss(s^2+2s+2)

Passo 5

Agora invertemos termo a termo. Primeiro:
L^-1l1s^2+2s+2r=e^-xsin x

Passo 6

Para o segundo termo definimos
$$F(s)=\frac1{s(s2+2s+2)}=\frac1{s((s+1)2+1)}
F(s)=1s(s^2+2s+2)=1s((s+1)^2+1) çõ
\frac1{s((s+1)2+1)}=\frac12\frac1s-\frac12\frac{s+1}{(s+1)2+1}-\frac12\frac1{(s+1)^2+1}.
1s((s+1)^2+1)=121s-12s+1(s+1)^2+1-121(s+1)^2+1
\mathcal{L}^{-1}{F(s)}=\frac12 -\frac12e^{-x}\cos x-\frac12e^{-x}\sin x.
$$

Passo 7

Por fim, aplicamos o teorema do deslocamento na variável x:
L^-1e^-a sF(s)=u(x-a)f(x-a)
Assim o segundo e terceiro termos geram
$$u(x-π)\bigl[\tfrac12-\tfrac12e^{-(x-π)}(\cos(x-π)+\sin(x-π))\bigr]
u(x-π)l[tfrac12-tfrac12e^-(x-π)(cos(x-π)+sin(x-π))r] -u(x-2π)\bigl[\tfrac12-\tfrac12e^{-(x-2π)}(\cos(x-2π)+\sin(x-2π))\bigr].$$

Passo 8

Reunindo tudo, obtemos a solução completa do PVI:

Resposta

y(x)=e^-xsin x +u(x-π)l[tfrac12-tfrac12e^-(x-π)l(cos(x-π)+sin(x-π)r)r] -u(x-2π)l[tfrac12-tfrac12e^-(x-2π)l(cos(x-2π)+sin(x-2π)r)r]

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