(Derivadas pela definição) Use o limite da taxa de variação média para calcular:
, constante
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
, onde
é uma constante (ou seja, um número fixo que não depende de
). O que se pede é calcular a derivada de
usando o limite da taxa de variação média — isto é, encontrar
para qualquer ponto
.
Informações relevantes:
-
para todo . -
é constante (não depende de ). - É solicitado usar a definição da derivada via limite da taxa de variação média.
Passo 2
Vou lembrar e explicar a definição que vamos usar. A derivada de uma função
num ponto
é o limite da taxa de variação média quando o incremento no argumento tende a zero. Uma forma comum dessa definição usa uma variável
para o incremento:
O que cada símbolo significa:
-
é a derivada de no ponto (a taxa instantânea de variação ali). -
é um pequeno incremento em ; estamos analisando a variação quando se aproxima de . -
é a taxa de variação média de entre e (a inclinação do segmento que liga os pontos da curva nesses dois abscissas).
Escolhi essa forma porque é a mais direta para calcular derivada de funções definidas explicitamente e funciona bem com constantes.
Passo 3
Agora aplico essa definição à função
. Primeiro calcule
e
. Como
é constante, o valor em qualquer entrada é
. Assim:
Substituindo na diferença quociente:
Para qualquer
,
. Então a expressão da taxa de variação média é exatamente
para todo
.
Passo 4
Agora tomo o limite quando
. Como a quantidade
é igual a
para todos os
, o limite é:
Logo a derivada existe e vale
em qualquer ponto
.
Passo 5
Interpretação didática e reforço (para levar para a prova): a derivada mede a inclinação da curva numa dada abscissa. A função
é uma reta horizontal (altura constante
), e a inclinação de uma reta horizontal é zero — por isso a derivada é zero. Exemplo concreto: se
, então para qualquer
,
logo
. Isso serve para qualquer constante
.