(Derivadas pela definição) Use o limite da taxa de variação média para calcular:
f(x)=k, constante

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=k, onde k é uma constante (ou seja, um número fixo que não depende de x). O que se pede é calcular a derivada de f usando o limite da taxa de variação média — isto é, encontrar f'(x) para qualquer ponto x.
Informações relevantes:
  • f(x)=k para todo x.
  • k é constante (não depende de x).
  • É solicitado usar a definição da derivada via limite da taxa de variação média.

Passo 2

Vou lembrar e explicar a definição que vamos usar. A derivada de uma função f num ponto x é o limite da taxa de variação média quando o incremento no argumento tende a zero. Uma forma comum dessa definição usa uma variável h para o incremento:
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
O que cada símbolo significa:
  • f'(x) é a derivada de f no ponto x (a taxa instantânea de variação ali).
  • h é um pequeno incremento em x; estamos analisando a variação quando h se aproxima de 0.
  • \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} é a taxa de variação média de f entre x e x+h (a inclinação do segmento que liga os pontos da curva nesses dois abscissas).
Escolhi essa forma porque é a mais direta para calcular derivada de funções definidas explicitamente e funciona bem com constantes.

Passo 3

Agora aplico essa definição à função f(x)=k. Primeiro calcule f(x+h) e f(x). Como f é constante, o valor em qualquer entrada é k. Assim:
f(x+h)=k,\qquad f(x)=k.
Substituindo na diferença quociente:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{k-k}{h}=\frac{0}{h}.
Para qualquer h\neq0, \dfrac{0}{h}=0. Então a expressão da taxa de variação média é exatamente 0 para todo h\neq0.

Passo 4

Agora tomo o limite quando h\to0. Como a quantidade \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} é igual a 0 para todos os h\neq0, o limite é:
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}0=0.
Logo a derivada existe e vale 0 em qualquer ponto x.

Passo 5

Interpretação didática e reforço (para levar para a prova): a derivada mede a inclinação da curva numa dada abscissa. A função f(x)=k é uma reta horizontal (altura constante k), e a inclinação de uma reta horizontal é zero — por isso a derivada é zero. Exemplo concreto: se f(x)=5, então para qualquer x,
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{5-5}{h}=0,
logo f'(x)=0. Isso serve para qualquer constante k.

Resposta

f'(x)=0

Exercícios relacionados