(Continuidade) Analise a continuidade das funções abaixo nos pontos indicados:
Determine os valores de
seja derivável em (x=0].
Observação: para ser derivável, necessariamente deve ser contínua.
Observação: para ser derivável, necessariamente deve ser contínua.
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
e pede: determinar os valores de
e
para que
seja derivável em
.
Informações relevantes fornecidas:
- Para
a expressão é . - Para
a expressão é . - O ponto em que queremos derivabilidade é
. - Observação útil (dada no enunciado): para ser derivável em um ponto, a função precisa ser contínua nesse ponto.
Passo 2
Entender e aplicar a condição de continuidade em
.
Definição de continuidade em
: a função
é contínua em
se e somente se
Aqui:
- O valor de
em vem do pedaço . Logo
- O limite pela direita (quando
) usa o pedaço . Como e quando , tem-se
- O limite pela esquerda (quando
) usa o pedaço . Avaliando em obtemos
Igualando as três quantidades (condição de continuidade) temos
Portanto a continuidade em
exige
Passo 3
Agora aplicar a condição de derivabilidade em
.
Definição de derivada em um ponto (diferença quociente):
é derivável em
se existir o limite
Para funções por partes é comum verificar as derivadas laterais: a derivada pela esquerda
e a derivada pela direita
A função é derivável em
iff essas duas derivadas laterais existem e são iguais.
Calcular
:
- Para
pequeno, , então usa-se o ramo . Como já encontramos , temos
Tomando o limite
obtemos
Calcular
:
- Para
pequeno, , usa-se o ramo . Usamos também o resultado da continuidade , então . Assim
Substituindo
simplifica para
Tomando o limite
obtemos
Para
ser derivável em
é necessário que
. Logo
Passo 4
Resumo do que encontramos sem repetir além do necessário: a condição de continuidade deu
e a igualdade das derivadas laterais deu
. Parabéns — com esses valores a função é contínua e tem derivada única em
.