(Continuidade) Analise a continuidade das funções abaixo nos pontos indicados:
Determine os valores de a\) e \(b\) para que a função \[f(x)= \begin{cases}x^{2}+a x+b, & x>0 \\\\ 2 x+1, & x \leq 0\end{cases}
seja derivável em (x=0].
Observação: para ser derivável, necessariamente deve ser contínua.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases}x^{2}+a x+b, & x>0 \\\\ 2 x+1, & x \leq 0\end{cases}
e pede: determinar os valores de a e b para que f seja derivável em x=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • Para x>0 a expressão é x^{2}+a x+b.
  • Para x\le 0 a expressão é 2x+1.
  • O ponto em que queremos derivabilidade é x=0.
  • Observação útil (dada no enunciado): para ser derivável em um ponto, a função precisa ser contínua nesse ponto.

Passo 2

Entender e aplicar a condição de continuidade em x=0.
Definição de continuidade em x=0: a função f é contínua em 0 se e somente se
\lim_{x\to0^-}f(x)=f(0)=\lim_{x\to0^+}f(x).
Aqui:
  • O valor de f em 0 vem do pedaço x\le 0. Logo
f(0)=2\cdot 0+1=1.
  • O limite pela direita (quando x\to0^+) usa o pedaço x^{2}+a x+b. Como x^{2}\to0 e a x\to0 quando x\to0, tem-se
\lim_{x\to0^+}\bigl(x^{2}+a x+b\bigr)=b.
  • O limite pela esquerda (quando x\to0^-) usa o pedaço 2x+1. Avaliando em 0 obtemos
\lim_{x\to0^-}(2x+1)=1.
Igualando as três quantidades (condição de continuidade) temos
1=f(0)=\lim_{x\to0^+}f(x)=b.
Portanto a continuidade em 0 exige
b=1.

Passo 3

Agora aplicar a condição de derivabilidade em x=0.
Definição de derivada em um ponto (diferença quociente): f é derivável em 0 se existir o limite
f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}.
Para funções por partes é comum verificar as derivadas laterais: a derivada pela esquerda
f'_-(0)=\lim_{h\to0^-}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}
e a derivada pela direita
f'_+(0)=\lim_{h\to0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}.
A função é derivável em 0 iff essas duas derivadas laterais existem e são iguais.
Calcular f'_-(0):
  • Para h<0 pequeno, 0+h<0, então usa-se o ramo 2x+1. Como já encontramos f(0)=1, temos
\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{(2(0+h)+1)-1}{h}=\frac{2h}{h}=2.
Tomando o limite h\to0^- obtemos
f'_-(0)=2.
Calcular f'_+(0):
  • Para h>0 pequeno, 0+h>0, usa-se o ramo x^{2}+a x+b. Usamos também o resultado da continuidade b=1, então f(0)=1. Assim
\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{(h^{2}+a h+b)-1}{h}=\frac{h^{2}+a h+(b-1)}{h}.
Substituindo b=1 simplifica para
\frac{h^{2}+a h}{h}=h+a.
Tomando o limite h\to0^+ obtemos
f'_+(0)=a.
Para f ser derivável em 0 é necessário que f'_-(0)=f'_+(0). Logo
2=a.

Passo 4

Resumo do que encontramos sem repetir além do necessário: a condição de continuidade deu b=1 e a igualdade das derivadas laterais deu a=2. Parabéns — com esses valores a função é contínua e tem derivada única em x=0.

Resposta

a=2,\\ b=1

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