(Derivadas pela definição) Use o limite da taxa de variação média para calcular:
f(x)=x^{2} no ponto x=2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=x^{2} no ponto x=2 usando o limite da taxa de variação média. Informações dadas:
  • A função é f(x)=x^{2}.
  • O ponto onde queremos a derivada (a inclinação da reta tangente) é x=2.
    O que se pede: encontrar o valor de f'(2) usando a definição da derivada como limite da taxa de variação média.

Passo 2

Apresentando a definição da derivada (forma que vamos usar). A derivada de f no ponto a é o limite da taxa de variação média quando o incremento vai para zero:
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Explicando cada coisa de modo bem concreto:
  • a é o ponto onde queremos a derivada; aqui a=2.
  • h é um pequeno incremento em x; pensar em h como “um passo” que fica cada vez menor.
  • \frac{f(a+h)-f(a)}{h} é a taxa de variação média de f entre x=a e x=a+h — é a inclinação da reta secante que liga os dois pontos. Quando h\to0, essa secante tende à reta tangente e o quociente tende à inclinação dessa tangente.

Passo 3

Aplicando a definição com a=2. Primeiro escrevo a diferença no numerador:
f(2+h)= (2+h)^{2}.
Faço a expansão do quadrado (passo a passo):
(2+h)^{2}=2^{2}+2\cdot2\cdot h + h^{2}=4+4h+h^{2}.
Então o numerador da diferença é
f(2+h)-f(2)=(4+4h+h^{2})-4=4h+h^{2}.

Passo 4

Agora monto o quociente e simplifico antes de tomar o limite:
\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{4h+h^{2}}{h}.
Fatorando h no numerador:
\frac{4h+h^{2}}{h}=\frac{h(4+h)}{h}.
Como estamos calculando um limite quando h\to0, podemos cancelar o fator h (note que para h\neq0 a expressão é equivalente):
\frac{h(4+h)}{h}=4+h \quad\text{(para }h\neq0\text{)}.

Passo 5

Agora tomo o limite quando h\to0:
f'(2)=\lim_{h\to0}(4+h)=4+0=4.
Interpretação rápida: a inclinação da reta tangente a y=x^{2} no ponto x=2 é 4. É também a taxa instantânea de variação de x^{2} naquele ponto: um pequeno aumento \Delta x em x provoca, aproximadamente, um aumento 4\Delta x em f.

Resposta

f'(2)=4

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