(Derivadas pela definição) Use o limite da taxa de variação média para calcular:
no ponto
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
no ponto
usando o limite da taxa de variação média. Informações dadas:
- A função é
. - O ponto onde queremos a derivada (a inclinação da reta tangente) é
.
O que se pede: encontrar o valor deusando a definição da derivada como limite da taxa de variação média.
Passo 2
Apresentando a definição da derivada (forma que vamos usar). A derivada de
no ponto
é o limite da taxa de variação média quando o incremento vai para zero:
Explicando cada coisa de modo bem concreto:
-
é o ponto onde queremos a derivada; aqui . -
é um pequeno incremento em ; pensar em como “um passo” que fica cada vez menor. -
é a taxa de variação média de entre e — é a inclinação da reta secante que liga os dois pontos. Quando , essa secante tende à reta tangente e o quociente tende à inclinação dessa tangente.
Passo 3
Aplicando a definição com
. Primeiro escrevo a diferença no numerador:
Faço a expansão do quadrado (passo a passo):
Então o numerador da diferença é
Passo 4
Agora monto o quociente e simplifico antes de tomar o limite:
Fatorando
no numerador:
Como estamos calculando um limite quando
, podemos cancelar o fator
(note que para
a expressão é equivalente):
Passo 5
Agora tomo o limite quando
:
Interpretação rápida: a inclinação da reta tangente a
no ponto
é
. É também a taxa instantânea de variação de
naquele ponto: um pequeno aumento
em
provoca, aproximadamente, um aumento
em
.