Derivadas Direcionais e Gradiente
Determine
, dado que
Determine
Passo 1
O enunciado pede para calcular o gradiente de f, ou seja, o vetor formado pelas derivadas parciais de f em relação a x e y. O conteúdo aqui é derivadas parciais e definição de gradiente, e vamos precisar aplicar a regra básica de derivação tratando uma variável por vez como constante.
Passo 2
Para encontrar ∂f/∂x, consideramos y como constante. A derivada de 3x em relação a x é 3. A derivada de –x y⁵ em relação a x é –y⁵. Logo,
Passo 3
Para encontrar ∂f/∂y, consideramos x como constante. A derivada de 3x em relação a y é 0. A derivada de –x y⁵ em relação a y usa a regra do expoente: traz 5 e diminui o expoente, ficando –x·5y⁴. Logo,
Passo 4
Montamos o vetor gradiente juntando as duas derivadas parciais. O gradiente aponta a direção de maior crescimento de f e é definido como