Derivadas Direcionais e Gradiente
Determine nablaf, dado que f(x, y)=3 x-x y^5

Passo 1

O enunciado pede para calcular o gradiente de f, ou seja, o vetor formado pelas derivadas parciais de f em relação a x e y. O conteúdo aqui é derivadas parciais e definição de gradiente, e vamos precisar aplicar a regra básica de derivação tratando uma variável por vez como constante.

Passo 2

Para encontrar ∂f/∂x, consideramos y como constante. A derivada de 3x em relação a x é 3. A derivada de –x y⁵ em relação a x é –y⁵. Logo,
partial fpartial x = 3 - y^5

Passo 3

Para encontrar ∂f/∂y, consideramos x como constante. A derivada de 3x em relação a y é 0. A derivada de –x y⁵ em relação a y usa a regra do expoente: traz 5 e diminui o expoente, ficando –x·5y⁴. Logo,
partial fpartial y = -5x,y^4

Passo 4

Montamos o vetor gradiente juntando as duas derivadas parciais. O gradiente aponta a direção de maior crescimento de f e é definido como
nabla f(x,y) = l(partial fpartial x,partial fpartial yr)

Resposta

nabla f(x,y) = l(3 - y^5,,-5x,y^4r)

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