Regra da Cadeia
Calcule d fd t dado que f(x, y)=3 x^2-y^2 e x(t)=sen(t) e y(t)=e^-tau

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para calcular df/dt pra função f(x,y)=3x^2 - y^2 onde x(t)=sin(t) e foi dado y(t)=e^-tau. Vou assumir que tau=t, ou seja, y(t)=e^-t. Isso é aplicação da regra da cadeia pra funções de várias variáveis.

Passo 2

A regra da cadeia diz que, quando f depende de x e y que por sua vez dependem de t, temos:
dfdt = partial fpartial x cdot dxdt + partial fpartial y cdot dydt
Ela reflete que a variação total de f em relação a t soma as contribuições de cada variável interna.

Passo 3

Vamos achar as derivadas parciais de f: lembrando que em partial f/partial x tratamos y como constante e vice-versa:
partial fpartial x = 6x,
partial fpartial y = -2y

Passo 4

Agora derivamos x(t) e y(t) em relação a t. Pra x(t)=sin(t):
dxdt = cos(t)
E pra y(t)=e^-t, pela regra da cadeia do exponencial:
dydt = e^-t cdot d(-t)dt = -e^-t

Passo 5

Substituindo tudo na fórmula da regra da cadeia e simplificando:
dfdt = (6x)cdot(cos(t)) + (-2y)cdot(-e^-t)
Como x=sin(t) e y=e^-t, isso vira
dfdt = 6sin(t)cos(t) + 2e^-te^-t = 6sin(t)cos(t) + 2e^-2t
A gente pode ainda usar a identidade 2sin(t)cos(t)=sin(2t) pra ficar mais enxuto.

Resposta

dfdt = 3sin(2t) + 2e^-2t

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