Regra da Cadeia
Calcule
dado que
e
e
Calcule
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para calcular
pra função
onde
e foi dado
. Vou assumir que
, ou seja,
. Isso é aplicação da regra da cadeia pra funções de várias variáveis.
Passo 2
A regra da cadeia diz que, quando
depende de
e
que por sua vez dependem de
, temos:
Ela reflete que a variação total de
em relação a
soma as contribuições de cada variável interna.
Passo 3
Vamos achar as derivadas parciais de
: lembrando que em
tratamos
como constante e vice-versa:
Passo 4
Agora derivamos
e
em relação a
. Pra
:
E pra
, pela regra da cadeia do exponencial:
Passo 5
Substituindo tudo na fórmula da regra da cadeia e simplificando:
Como
e
, isso vira
A gente pode ainda usar a identidade
pra ficar mais enxuto.