Derive a função abaixo:
g(x)=ln (x)e^x

Passo 1

A gente quer achar a derivada da função g(x)=ln(x)e^x. O conteúdo aqui é derivação de quociente e vamos precisar da regra do quociente e das derivadas de ln(x) e e^x.

Passo 2

Na regra do quociente, se temos f(x)h(x), vale
gl(fhgr)'=f'(x),h(x)-f(x),h'(x)[h(x)]^2
Aqui precisamos de f(x)=ln(x) e h(x)=e^x.

Passo 3

Calculando as derivadas separadas, temos
f'(x)=l(ln(x)r)'=1x
e
h'(x)=l(e^xr)'=e^x.

Passo 4

Substituindo na fórmula do quociente:
g'(x)=1x,e^x - ln(x),e^x(e^x)^2

Passo 5

Agora simplificamos. No numerador fatoramos e^x e no denominador usamos (e^x)^2=e^2x:
g'(x)=e^xl(1x-ln(x)r)e^2x=1e^xl(1x-ln(x)r)=1x-ln(x)e^x

Resposta

g'(x)=tfrac1x-ln(x)e^x

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