Calcule o limite abaixo.
lim x 1 x^8-1x^2-1

Passo 1

O exercício pede que a gente ache o limite limxto1x^8-1x^2-1. O tema aqui é limites que geram forma indeterminada 0/0, e vamos usar fatoração de diferença de potências para resolver.

Passo 2

Primeiro, tentamos a substituição direta: ao colocar x=1 em x^8-1 e em x^2-1 temos 1^8-1=0 e 1^2-1=0, ou seja, forma indeterminada 0/0. Isso indica que precisamos manipular a expressão antes de calcular o limite.

Passo 3

Para eliminar a indeterminação, usamos a identidade de diferença de potências. Em bloco temos:
x^8-1=(x^4-1)(x^4+1)=(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)
Agora podemos reescrever o quociente cancelando o fator comum x^2-1:
x^8-1x^2-1=(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)x^2-1=(x^2+1)(x^4+1)

Passo 4

Com a forma não indeterminada, basta substituir x=1 no resultado simplificado:
(x^2+1)(x^4+1)l|x=1=(1^2+1)(1^4+1)=2cdot2=4

Resposta

4

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