As derivadas à esquerda e à direita de em são definidas por
e
se esses limites existirem. Então existe se, e somente se, essas derivadas unilaterais existirem e forem iguais.
Onde é descontínua?
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos a função
O conteúdo envolvido é continuidade de funções em pontos de troca de definição. Vamos usar o conceito de limite unilateral e o valor da função.
Passo 2
Análise em intervalos abertos: Para x<0, f(x)=0 é constante, logo contínua. Para 0, f(x)=5-x é polinomial, logo contínua. Para x>4, f(x)=1/(5-x) é contínua sempre que o denominador 5-x não for zero (ou seja, exceto em x=5).
Passo 3
Verificação em x=0: Calcular limites unilaterais e comparar com f(0). limxto0^-f(x)=0, limxto0^+f(x)=5-0=5 e f(0)=0.
Como 0neq5, a função tem descontinuidade do tipo salto em x=0.
Passo 4
Verificação em x=4: Calcular limites unilaterais e comparar com f(4). limxto4^-f(x)=5-4=1, limxto4^+f(x)=1/(5-4)=1 e f(4)=1/(5-4)=1.
Como todas as três quantidades são iguais, f é contínua em x=4.
Passo 5
Verificação em x=5: O pedaço f(x)=1/(5-x) fica indefinido em x=5 (denominador zero). Isso gera uma descontinuidade essencial (infinita) em x=5.
Resposta
A função é descontínua em x=0 (descontinuidade de salto) e em x=5 (descontinuidade essencial).