As derivadas à esquerda e à direita de F em a são definidas por
e
se esses limites existirem. Então & f-^prime(a)=lim h 0^- f(a+h)-f(a)h & f+^prime(a)=lim h 0^+ f(a+h)-f(a)h existe se, e somente se, essas derivadas unilaterais existirem e forem iguais.
Onde f^prime(a) é descontínua?

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a função
0 & se x<=05-x&se 0=4
O conteúdo envolvido é continuidade de funções em pontos de troca de definição. Vamos usar o conceito de limite unilateral e o valor da função.

Passo 2

Análise em intervalos abertos: Para x<0, f(x)=0 é constante, logo contínua. Para 0, f(x)=5-x é polinomial, logo contínua. Para x>4, f(x)=1/(5-x) é contínua sempre que o denominador 5-x não for zero (ou seja, exceto em x=5).

Passo 3

Verificação em x=0: Calcular limites unilaterais e comparar com f(0).
limxto0^-f(x)=0, limxto0^+f(x)=5-0=5 e f(0)=0.
Como 0neq5, a função tem descontinuidade do tipo salto em x=0.

Passo 4

Verificação em x=4: Calcular limites unilaterais e comparar com f(4).
limxto4^-f(x)=5-4=1, limxto4^+f(x)=1/(5-4)=1 e f(4)=1/(5-4)=1.
Como todas as três quantidades são iguais, f é contínua em x=4.

Passo 5

Verificação em x=5: O pedaço f(x)=1/(5-x) fica indefinido em x=5 (denominador zero). Isso gera uma descontinuidade essencial (infinita) em x=5.

Resposta

A função é descontínua em x=0 (descontinuidade de salto) e em x=5 (descontinuidade essencial).

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