Usando as regras do produto e do quociente, calcule as derivadas das funções.
f(x)=e^xe^x+x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=e^xe^x+x
Esse problema é sobre derivadas, especificamente usando a regra do quociente. Vamos precisar da derivada de exponencial, da soma e da própria regra do quociente.

Passo 2

A teoria diz que, para duas funções u(x) e v(x), a regra do quociente é
gl(uvgr)'=u'v - u,v'v^2
Também sabemos que
$ (ex)’=ex $
e que a derivada de uma soma é a soma das derivadas.

Passo 3

Identificamos as partes da fração como
u(x)=e^x, v(x)=e^x + x
Logo,
u'(x)=e^x, v'(x)=(e^x)'+(x)'=e^x+1

Passo 4

Aplicando a regra do quociente, obtemos
f'(x)=e^x,(e^x + x) - e^x,(e^x + 1)(e^x + x)^2

Passo 5

Agora vamos simplificar o numerador:
e^x(e^x + x) - e^x(e^x + 1)=e^2x + x e^x - e^2x - e^x =x e^x - e^x =e^x(x-1)
Portanto,

Passo 6

a derivada fica
f'(x)=e^x(x-1)(e^x + x)^2

Resposta

f’(x)=\frac{ex,(x-1)}{(ex + x)^2}

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