Prove que
tem um fator integrante que depende somente da soma
se e somente se a expressão
depender somente de
.
Passo 1
A questão é sobre a equação diferencial na forma de forma diferencial italiana
e queremos mostrar que existe um fator integrante
que dependa apenas de
se e somente se o quociente
depender apenas de
Passo 2
Para que
seja exata, precisamos ter
$$\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\mu(s),M\bigr) ,=, \frac{\partial}{\partial x}\bigl(\mu(s),N\bigr).
$$
Passo 3
Como
depende só de
, temos
Passo 4
Calculando cada lado da condição de exatidão:
Passo 5
Igualando os dois resultados obtemos
Passo 6
Dividindo ambos os lados por
(supondo
), chega-se a
Passo 7
O lado esquerdo
é função somente de
. Logo, para que exista
, o lado direito deve depender apenas de
. Reciprocamente, se
, basta integrar
para obter
.
Resposta
M d x + N d y = 0 tem fator integrante dependente só de x+y se e somente se
depender apenas de x+y.