Prove que M d x+N d y=0 tem um fator integrante que depende somente da soma x+y se e somente se a expressão
partial N / partial x-partial M / partial yM-N
depender somente de x+y.

Passo 1

A questão é sobre a equação diferencial na forma de forma diferencial italiana M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0 e queremos mostrar que existe um fator integrante mu que dependa apenas de s = x+y se e somente se o quociente
partial N/partial x - partial M/partial yM - N
depender apenas de x+y. Para resolver vamos usar a noção de exatidão de formas diferenciais e a definição de fator integrante.

Passo 2

Para que mu(s),M,dx + mu(s),N,dy = 0 seja exata, precisamos ter
$$\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\mu(s),M\bigr) ,=, \frac{\partial}{\partial x}\bigl(\mu(s),N\bigr).
$$

Passo 3

Como mu depende só de s = x+y, temos
partial mupartial y = dmudspartial spartial y = mu'(s) e partial mupartial x = mu'(s)

Passo 4

Calculando cada lado da condição de exatidão:
partialpartial y(mu M) = mu'(s),M + mu(s)partial Mpartial y,
partialpartial x(mu N) = mu'(s),N + mu(s)partial Npartial x

Passo 5

Igualando os dois resultados obtemos
mu'(s),M + mu(s),My = mu'(s),N + mu(s),Nx Longrightarrow mu'(s),(M - N) = mu(s),(Nx - My)

Passo 6

Dividindo ambos os lados por mu(s)(M-N) (supondo Mneq N), chega-se a
mu'(s)mu(s) = Nx - MyM - N

Passo 7

O lado esquerdo mu'/mu é função somente de s = x+y. Logo, para que exista mu(s), o lado direito deve depender apenas de x+y. Reciprocamente, se
dfracNx - MyM - N = R(x+y), basta integrar mu'/mu = R(s) para obter mu(s) = e^integral R(s),ds.

Resposta

M d x + N d y = 0 tem fator integrante dependente só de x+y se e somente se dfracpartial N/partial x - partial M/partial yM - N depender apenas de x+y.

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