As derivadas parciais ocorrem naturalmente em equações diferenciais parciais que expressam certas leis físicas. Por exemplo, a equação diferencial parcial
partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=0
é denominada equação de Laplace em homenagem a Pierre Laplace (1749-1827). As soluções dessa equação são chamadas funções harmônicas e são muito importantes no estudo de condução de calor, escoamento de fluidos e potencial elétrico. Observe que a equação acima pode ser considerada também no contexto n -dimensional.
Verifique se a seguinte função é harmônica.
f(x, y, z)=x^2+y^2-2 z^2, para o caso análogo tridimensional.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função $ f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} - 2 z^{2} $ é harmônica no contexto tridimensional. Isso está relacionado à equação de Laplace, que envolve derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função em relação a cada variável $ x $, $ y $ e $ z $, e depois somá-las para ver se o resultado é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. Elas medem como a função muda em relação a uma variável, mantendo as outras constantes. Como nossa função depende de três variáveis, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $.

Passo 3

Vamos calcular as segundas derivadas parciais:
  1. Segunda derivada em relação a $ x $:
    x
  2. Segunda derivada em relação a $ y $:
    partial fpartial x = 2x Rightarrow partial^2 fpartial x^2 = 2
  3. Segunda derivada em relação a $ z $:
    y

Passo 4

Agora, vamos somar essas segundas derivadas parciais conforme a equação de Laplace:
partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 + partial^2 fpartial z^2 = 2 + 2 - 4 = 0

Resposta

Como a soma das segundas derivadas parciais é igual a zero, a função $ f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} - 2 z^{2} $ é harmônica.

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