As derivadas parciais ocorrem naturalmente em equações diferenciais parciais que expressam certas leis físicas. Por exemplo, a equação diferencial parcial
é denominada equação de Laplace em homenagem a Pierre Laplace (1749-1827). As soluções dessa equação são chamadas funções harmônicas e são muito importantes no estudo de condução de calor, escoamento de fluidos e potencial elétrico. Observe que a equação acima pode ser considerada também no contexto n -dimensional.
Verifique se a seguinte função é harmônica.
, para o caso análogo tridimensional.
Verifique se a seguinte função é harmônica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função $ f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} - 2 z^{2} $ é harmônica no contexto tridimensional. Isso está relacionado à equação de Laplace, que envolve derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função em relação a cada variável $ x $, $ y $ e $ z $, e depois somá-las para ver se o resultado é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. Elas medem como a função muda em relação a uma variável, mantendo as outras constantes. Como nossa função depende de três variáveis, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $.
Passo 3
Vamos calcular as segundas derivadas parciais:
-
Segunda derivada em relação a $ x $:
-
Segunda derivada em relação a $ y $:
-
Segunda derivada em relação a $ z $:
Passo 4
Agora, vamos somar essas segundas derivadas parciais conforme a equação de Laplace:
Resposta
Como a soma das segundas derivadas parciais é igual a zero, a função $ f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} - 2 z^{2} $ é harmônica.