As derivadas parciais ocorrem naturalmente em equações diferenciais parciais que expressam certas leis físicas. Por exemplo, a equação diferencial parcial
é denominada equação de Laplace em homenagem a Pierre Laplace (1749-1827). As soluções dessa equação são chamadas funções harmônicas e são muito importantes no estudo de condução de calor, escoamento de fluidos e potencial elétrico. Observe que a equação acima pode ser considerada também no contexto n -dimensional.
Verifique se a seguinte função é harmônica.
Verifique se a seguinte função é harmônica.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. A gente tem uma função $ f(x, y) = x^{2} - y^{2} + xy $ e precisa verificar se ela é harmônica. Isso envolve a Equação de Laplace, que usa derivadas parciais. Resumindo, vamos calcular as segundas derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ e ver se a soma delas dá zero. Se der zero, a função é harmônica.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $. A função é $ f(x, y) = x^{2} - y^{2} + xy $.
Primeira derivada em relação a $ x $:
Segunda derivada em relação a $ x $:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $.
Primeira derivada em relação a $ y $:
Segunda derivada em relação a $ y $:
Passo 4
Agora, somamos as duas segundas derivadas parciais que encontramos:
Resposta
Sim, a função $ f(x, y) = x^{2} - y^{2} + xy $ é harmônica.