Use qualquer método para determinar se a série converge.
sumk=1^infty 2+raizk(k+1)^3-1

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série sumk=1^infty 2+raizk(k+1)^3-1. O conteúdo aqui é série de termos positivos, e vamos precisar de um teste de comparação, mais especificamente o teste de comparação limite com uma p-série.

Passo 2

Para usar o teste de comparação limite, note que, para k grande, o denominador (k+1)^3-1 se comporta como k^3 e o numerador como raizk. Logo o termo geral ak=2+raizk(k+1)^3-1 é assintoticamente parecido com
bk=1k^5/2

Passo 3

Agora aplicamos o teste da comparação limite. Definindo ak=2+raizk(k+1)^3-1 e bk=1/k^5/2, calculamos
L=limktoinftyakbk=limktoinfty2+raizk(k+1)^3-1cdot k^5/2

Passo 4

Para encontrar L, observe que (k+1)^3-1=k^3+3k^2+3ksim k^3 e 2+raizksimraizk. Então
L=limktoinftyraizk;k^5/2k^3=limktoinfty1=1,
ou seja, 0< L. Como a p-série sum bk=sum1/k^5/2 converge (p=5/2>1), pelo teste de comparação limite a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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