(valor: 2,0) Calcule
, em que
é a região limitada por
e
.
Passo 1
O enunciado pede a integral dupla
sobre a região
limitada pelas curvas
,
e a reta
. O conteúdo envolvido é cálculo de integrais duplas e uso do Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração ou escolher limites convenientes.
Passo 2
Para descrever
em coordenadas cartesianas note que
equivale a
. Assim, para cada
entre
e
, o ponto varia em
de
até
. Logo podemos escrever
Passo 3
Como o integrando
independe de
, fazemos primeiro a integral em
:
Então a integral vira
Passo 4
Para calcular
fazemos a substituição
, de modo que
, isto é,
. Quando
temos
e quando
temos
. A integral passa a ser
Passo 5
A integral de
é o logaritmo natural, então