(valor: 2,0) Calcule \iint_{D} \frac{1}{y^{3}+1} d A, em que D é a região limitada por x=0, y=\sqrt{x} e y=2.

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla
\iint_{D}\frac{1}{y^{3}+1}\,dA
sobre a região D limitada pelas curvas x=0, y=\sqrt{x} e a reta y=2. O conteúdo envolvido é cálculo de integrais duplas e uso do Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração ou escolher limites convenientes.

Passo 2

Para descrever D em coordenadas cartesianas note que y=\sqrt{x} equivale a x=y^{2}. Assim, para cada y entre 0 e 2, o ponto varia em x de 0 até y^{2}. Logo podemos escrever
\iint_{D}\frac{1}{y^{3}+1}\,dA =\int_{y=0}^{2}\!\int_{x=0}^{y^{2}}\frac{1}{y^{3}+1}\,dx\,dy.

Passo 3

Como o integrando \frac{1}{y^{3}+1} independe de x, fazemos primeiro a integral em x:
\int_{x=0}^{y^{2}}\frac{1}{y^{3}+1}\,dx =\frac{1}{y^{3}+1}\Bigl[x\Bigr]_{0}^{y^{2}} =\frac{y^{2}}{y^{3}+1}.
Então a integral vira
\int_{0}^{2}\frac{y^{2}}{y^{3}+1}\,dy.

Passo 4

Para calcular
\int_{0}^{2}\frac{y^{2}}{y^{3}+1}\,dy
fazemos a substituição t=y^{3}+1, de modo que dt=3y^{2}dy, isto é, y^{2}dy=\frac{dt}{3}. Quando y=0 temos t=1 e quando y=2 temos t=9. A integral passa a ser
\int_{t=1}^{9}\frac{1}{t}\;\frac{dt}{3} =\frac{1}{3}\int_{1}^{9}\frac{dt}{t}.

Passo 5

A integral de \frac{1}{t} é o logaritmo natural, então
\frac{1}{3}\int_{1}^{9}\frac{dt}{t} =\frac{1}{3}\Bigl[\ln t\Bigr]_{1}^{9} =\frac{1}{3}\bigl(\ln 9-\ln 1\bigr) =\frac{1}{3}\ln 9.

Resposta

\frac{1}{3}\ln 9.

Exercícios relacionados