(valor: 2,0 ) Calcule \iint_{R} y \operatorname{sen}(x y) d A, em que R é a região limitada pelo retângulo de vértices (0,0),(\pi, 0),\left(\pi, \frac{\pi}{2}\right) e \left(0, \frac{\pi}{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} y\,\sin(xy)\,dA,
onde R é o retângulo dado por
0 \le x \le \pi,\quad 0 \le y \le \tfrac{\pi}{2}.
Como R é retangular, podemos usar o Teorema de Fubini e escrever
\iint_{R} y\,\sin(xy)\,dA = \int_{y=0}^{\frac{\pi}{2}}\!\int_{x=0}^{\pi} y\,\sin(xy)\,dx\,dy.
Para facilitar, vamos integrar primeiro em x.

Passo 2

Calculemos a integral interna em x:
\int_{x=0}^{\pi} y\,\sin(xy)\,dx.
Como y é constante em relação a x, temos
\int y\,\sin(xy)\,dx = y \int \sin(xy)\,dx = y \Bigl(-\frac{\cos(xy)}{y}\Bigr) = -\cos(xy).
Então
\int_{0}^{\pi} y\,\sin(xy)\,dx = \Bigl[-\cos(xy)\Bigr]_{x=0}^{x=\pi} = -\cos(\pi y) -\bigl(-\cos(0)\bigr) = 1 - \cos(\pi y).

Passo 3

Substituindo na integral sobre y, obtemos
\iint_{R} y\,\sin(xy)\,dA = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\bigl(1 - \cos(\pi y)\bigr)\,dy = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}1\,dy - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(\pi y)\,dy.

Passo 4

Cada termo acima é direto:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}1\,dy = \frac{\pi}{2},
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(\pi y)\,dy = \frac{1}{\pi}\,\sin(\pi y)\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{\pi}\,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi^2}{2}\bigr).
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\iint_{R} y\,\sin(xy)\,dA = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{\pi}\,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi^2}{2}\bigr).

Resposta

\boxed{\frac{\pi}{2} \;-\;\frac{1}{\pi}\,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi^2}{2}\bigr)}.

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