Derivando a fórmula de adição
\operatorname{sen}(x+b)=\operatorname{sen} x \cos a+\cos x \operatorname{sen} a
obtenha a fórmula de adição para a função cosseno.

Passo 1

O enunciado nos dá a fórmula de adição de seno
\operatorname{sen}(x+a)=\operatorname{sen}x\cos a+\cos x\;\operatorname{sen}a
e pede a fórmula de adição para o cosseno. Vamos usar derivação em relação a x e as regras \tfrac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sen}u\bigr]=\cos u e \tfrac{d}{dx}[\cos u]=-\operatorname{sen}u.

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x:
Lado esquerdo:
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sen}(x+a)\bigr] =\cos(x+a).
Lado direito:
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sen}x\cos a+\cos x\;\operatorname{sen}a\bigr] =\cos x\cos a-\operatorname{sen}x\sin a.

Passo 3

Igualando as duas derivadas, obtemos
\cos(x+a)=\cos x\cos a-\operatorname{sen}x\sin a.

Resposta

\displaystyle \cos(x+a)=\cos x\cos a-\operatorname{sen}x\sin a

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