Determine a equação para a reta normal à curva y=x^{2} no ponto P(2,4).
Obs: duas retas t e n são perpendiculares se m_{t} . m_{n}=-1, onde m_{t} e m_{n} são as inclinações das retas t e n, respectivamente, em um ponto P dado.

Passo 1

O enunciado pede a reta normal à curva y = x^2 no ponto P(2,4). Para isso vamos precisar de:
  1. A inclinação da reta tangente, obtida pela derivada de y=x^2.
  2. A inclinação da reta normal, usando a condição m_t \cdot m_n = -1.
  3. A equação da reta no formato ponto-inclinação.

Passo 2

Calculamos a derivada de y=x^2:
y' = 2x.
No ponto x=2, a inclinação da reta tangente é
m_t = 2\cdot 2 = 4.

Passo 3

Como a reta normal é perpendicular à tangente, suas inclinações satisfazem
m_t \cdot m_n = -1.
Logo
m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{4}.

Passo 4

Usamos a forma ponto-inclinação para a reta normal em P(2,4):
y - 4 = -\tfrac{1}{4}\,(x - 2).
Agora simplificamos:

Passo 5

Expandindo e isolando y:
y - 4 = -\tfrac{1}{4}x + \tfrac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad y = -\tfrac{1}{4}x + 4 + \tfrac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad y = -\tfrac{1}{4}x + \tfrac{9}{2}.

Resposta

A equação da reta normal é
y = -\frac{1}{4}\,x + \frac{9}{2}.

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