Derivando implicitamente a expressão 6 cos (3 x y)-39 x+3 y-6=0, obtemos que a derivada de y em relação a x no ponto (0,0) é:
O. -13
Ob. 13
O c. 37
Od. 24
O. -24

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a equação 6 cos(3xy) - 39x + 3y - 6 = 0 e precisamos encontrar a derivada de y em relação a x no ponto (0,0). Para isso, vamos usar derivação implícita, que é uma técnica usada quando y está misturado com x na equação e não está isolado.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação com respeito a x. Lembre-se que y é uma função de x, então sempre que derivarmos algo com y, precisamos aplicar a regra da cadeia.
Vamos lá:
  1. Derivada de 6 cos(3xy):
    • Primeiro, usamos a regra da cadeia. A derivada de cos(u) é -sin(u) cdot u', onde u = 3xy.
    • Então, a derivada é 6 cdot (-sin(3xy)) cdot ddx(3xy).
    • Agora, derivamos 3xy usando a regra do produto: ddx(3xy) = 3y + 3xdydx.
    • Portanto, a derivada completa é -6 sin(3xy) (3y + 3xdydx).
  2. Derivada de -39x:
    • Simplesmente, -39.
  3. Derivada de 3y:
    • Como y é função de x, a derivada é 3dydx.
  4. Derivada de -6:
    • É uma constante, então a derivada é 0.

Passo 3

Agora, juntando todas as derivadas:
-6 sin(3xy) (3y + 3xdydx) - 39 + 3dydx = 0

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, distribuímos o -6 sin(3xy):
-18 sin(3xy) y - 18x sin(3xy) dydx - 39 + 3dydx = 0

Passo 5

Agora, queremos isolar dydx. Vamos reorganizar os termos:
(-18x sin(3xy) + 3) dydx = 18 sin(3xy) y + 39

Passo 6

Resolvendo para dydx:
dydx = 18 sin(3xy) y + 39-18x sin(3xy) + 3

Passo 7

Agora, vamos substituir o ponto (0,0) nessa expressão. Primeiro, observe que:
  • x = 0
  • y = 0
  • sin(3 cdot 0 cdot 0) = sin(0) = 0
Substituindo na expressão:
dydx = 18 cdot 0 cdot 0 + 39-18 cdot 0 cdot 0 + 3 = 393 = 13

Resposta

A derivada de y em relação a x no ponto (0,0) é 13.

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