Seja
o círculo
descrito no sentido positivo. Mostre que se
então
. Qual é o valor de
se
?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um círculo $ C $ definido por $ |z| = 3 $ e uma função $ g(z) $ dada por uma integral de contorno:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve Cálculo Complexo, especificamente o Teorema de Cauchy para integrais de contorno. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema para calcular a integral e, assim, encontrar o valor de $ g(2) $ e também determinar $ g(z) $ quando $ |z| > 3 $.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular $ g(2) $. Aqui, $ z = 2 $, e como $ |2| = 2 < 3 $, o ponto $ z $ está dentro do círculo $ C $. Isso é importante porque o Teorema de Cauchy nos diz que se $ z $ está dentro do contorno de integração, a integral pode ser calculada de maneira direta.
A função que está no numerador é $ f(s) = 2s^{2} - s - 2 $. Segundo o Teorema de Cauchy:
Então, substituindo $ z = 2 $:
Vamos calcular $ f(2) $:
Agora, substituindo de volta:
Passo 3
Agora, vamos determinar $ g(z) $ quando $ |z| > 3 $. Nesse caso, o ponto $ z $ está fora do círculo $ C $. De novo, vamos usar o Teorema de Cauchy, mas dessa vez para pontos fora do contorno.
Quando $ z $ está fora do contorno, a integral de $ \frac{f(s)}{s - z} $ ao redor de $ C $ é zero. Isso porque, não há singularidades dentro do contorno que contribuam para a integral.
Então:
Resposta
Quando $ |z| > 3 $, o valor de $ g(z) $ é igual a zero.