Sejam
e
funções dadas por e . Para
, a derivada da função
calculada em
é:
O.
- b.
©.
Od.
O.
O.
©.
Od.
O.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas funções, $ f $ e $ g $, definidas de forma diferente dependendo do valor de $ x $. O objetivo é encontrar a derivada da função composta $ f \circ g $ no intervalo $ x \in (-4, -1) $. Para resolver isso, vamos precisar entender como compor funções e aplicar regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as expressões das funções $ f(x) $ e $ g(x) $ no intervalo dado.
Para $ g(x) $:
- A função muda de definição em $ x = -5 $. Como $ x $ está entre -4 e -1, que é maior que -5, usamos a expressão $ g(x) = 4x + 4 $.
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos compor as funções $ f $ e $ g $, ou seja, encontrar $ f(g(x)) $.
Antes de isso, precisamos ver qual parte da definição de $ f(x) $ vamos usar para $ g(x) $ no intervalo $ (-4, -1) $.
Calculando $ g(x) $ nesse intervalo:
- Para $ x = -4 $: $ g(-4) = 4(-4) + 4 = -16 + 4 = -12 $
- Para $ x = -1 $: $ g(-1) = 4(-1) + 4 = -4 + 4 = 0 $
Então, $ g(x) $ varia de -12 até 0 nesse intervalo. Isso significa que:
- Se $ g(x) < 0 $, usamos $ f(x) = 2x^2 + 2x + 2 $
- Se $ g(x) \geq 0 $, usamos $ f(x) = x^2 + 4 $
Como $ g(x) $ vai de -12 até 0, para $ x \in (-4, -1) $, $ g(x) $ é sempre menor ou igual a 0.
Passo 4
Vamos escrever a função composta $ f(g(x)) $:
Para $ g(x) < 0 $:
E para $ g(x) = 0 $:
Mas como estamos interessados na derivada, vamos considerar a parte onde $ g(x) < 0 $:
Passo 5
Agora, vamos derivar $ f(g(x)) $. Para isso, usamos a regra da cadeia, que diz que a derivada de uma função composta $ f(g(x)) $ é:
Primeiro, vamos encontrar $ f’(x) $.
Para $ f(x) = 2x^2 + 2x + 2 $:
E para $ g(x) = 4x + 4 $:
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia:
Substituindo $ g(x) = 4x + 4 $:
Resposta
A derivada da função $ f \circ g $ no intervalo $ x \in (-4, -1) $ é $ 64x + 72 $. Portanto, a opção correta é a c. $ 64x + 72 $.