Sejam f e g funções dadas por e . Para f(x)=ll2 x^2+2 x+2 & x<0 x^2+4 & x >= 0, a derivada da função g(x)=ll4-x & x <= -5 4 x+4 & x>-5 calculada em x in(-4,-1) é:
O. f circ g
  • b. x
    ©. 64 x-56
    Od. 32 x+72
    O. 64 x+72

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas funções, $ f $ e $ g $, definidas de forma diferente dependendo do valor de $ x $. O objetivo é encontrar a derivada da função composta $ f \circ g $ no intervalo $ x \in (-4, -1) $. Para resolver isso, vamos precisar entender como compor funções e aplicar regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as expressões das funções $ f(x) $ e $ g(x) $ no intervalo dado.
Para $ g(x) $:
  • A função muda de definição em $ x = -5 $. Como $ x $ está entre -4 e -1, que é maior que -5, usamos a expressão $ g(x) = 4x + 4 $.
Então, temos:
f(x)

Passo 3

Agora, vamos compor as funções $ f $ e $ g $, ou seja, encontrar $ f(g(x)) $.
Antes de isso, precisamos ver qual parte da definição de $ f(x) $ vamos usar para $ g(x) $ no intervalo $ (-4, -1) $.
Calculando $ g(x) $ nesse intervalo:
  • Para $ x = -4 $: $ g(-4) = 4(-4) + 4 = -16 + 4 = -12 $
  • Para $ x = -1 $: $ g(-1) = 4(-1) + 4 = -4 + 4 = 0 $
Então, $ g(x) $ varia de -12 até 0 nesse intervalo. Isso significa que:
  • Se $ g(x) < 0 $, usamos $ f(x) = 2x^2 + 2x + 2 $
  • Se $ g(x) \geq 0 $, usamos $ f(x) = x^2 + 4 $
Como $ g(x) $ vai de -12 até 0, para $ x \in (-4, -1) $, $ g(x) $ é sempre menor ou igual a 0.

Passo 4

Vamos escrever a função composta $ f(g(x)) $:
Para $ g(x) < 0 $:
f(g(x))
E para $ g(x) = 0 $:
g(x) < 0
Mas como estamos interessados na derivada, vamos considerar a parte onde $ g(x) < 0 $:
f(g(x)) = 2(g(x))^2 + 2g(x) + 2

Passo 5

Agora, vamos derivar $ f(g(x)) $. Para isso, usamos a regra da cadeia, que diz que a derivada de uma função composta $ f(g(x)) $ é:
f(g(x))
Primeiro, vamos encontrar $ f’(x) $.
Para $ f(x) = 2x^2 + 2x + 2 $:
f(g(x))
E para $ g(x) = 4x + 4 $:
(f circ g)'(x) = f'(g(x)) cdot g'(x)

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia:
(f circ g)'(x) = f'(g(x)) cdot g'(x) = (4 cdot g(x) + 2) cdot 4
Substituindo $ g(x) = 4x + 4 $:
g(x) = 4x + 4
(f circ g)'(x) = (4(4x + 4) + 2) cdot 4
= (16x + 16 + 2) cdot 4
= (16x + 18) cdot 4

Resposta

A derivada da função $ f \circ g $ no intervalo $ x \in (-4, -1) $ é $ 64x + 72 $. Portanto, a opção correta é a c. $ 64x + 72 $.

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