Derivar:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada de
Ou seja, precisamos calcular
. As informações dadas são apenas a expressão de
acima. Vamos derivar em todos os pontos onde a função está definida (a função está bem definida para todo
porque
sempre).
Passo 2
Escolha do método: é mais claro reescrever
como produto envolvendo uma potência negativa para usar a regra do produto e a regra da cadeia (elas são bem básicas e fáceis de aplicar passo a passo). Reescrevendo,
Vou aplicar a regra do produto à decomposição
onde
Passo 3
Relembrando as regras que vou usar (explicando o que cada símbolo significa):
- Regra do produto: se
e então
onde
é a derivada de
em relação a
e
é a derivada de
em relação a
.
- Regra da potência/cadeia: se
é uma função diferenciável e é um número, então
ou seja, deriva-se a potência como
vezes a mesma potência com expoente reduzido e multiplica-se pela derivada de
.
- Regra do polinômio/potência (caso particular): para
vale
Passo 4
Calcular
e sua derivada
. Primeiro expandindo
para facilitar:
Aplicando a regra do polinômio:
Passo 5
Calcular
e sua derivada
. Já temos
Aplicando a regra da potência/cadeia com
e
:
Como
, concluímos
Passo 6
Agora aplico a regra do produto
. Substituindo
:
Passo 7
Coloco em evidência o fator comum
para simplificar. Observe que
. Assim
Passo 8
Faço as multiplicações dentro do colchete e simplifico passo a passo:
Primeiro, expandindo o primeiro produto:
Primeiro, expandindo o primeiro produto:
O segundo produto é
Somando os dois resultados:
Fatorando
em
obtemos
Passo 9
Substituindo essa simplificação de volta na expressão com o fator comum:
Reescrevendo com denominador positivo,