Derivar:
f(x)=\frac{x^{2}\left(x^{2}+3\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de
f(x)=\frac{x^{2}\left(x^{2}+3\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}.
Ou seja, precisamos calcular f'(x). As informações dadas são apenas a expressão de f(x) acima. Vamos derivar em todos os pontos onde a função está definida (a função está bem definida para todo x\in\mathbb{R} porque \left(x^{2}+1\right)^{2}>0 sempre).

Passo 2

Escolha do método: é mais claro reescrever f como produto envolvendo uma potência negativa para usar a regra do produto e a regra da cadeia (elas são bem básicas e fáceis de aplicar passo a passo). Reescrevendo,
f(x)=x^{2}\left(x^{2}+3\right)\left(x^{2}+1\right)^{-2}.
Vou aplicar a regra do produto à decomposição u(x)\cdot v(x) onde
u(x)=x^{2}\left(x^{2}+3\right)\qquad\text{e}\qquad v(x)=\left(x^{2}+1\right)^{-2}.

Passo 3

Relembrando as regras que vou usar (explicando o que cada símbolo significa):
  • Regra do produto: se u=u(x) e v=v(x) então
(uv)'=u'v+uv',
onde u' é a derivada de u em relação a x e v' é a derivada de v em relação a x.
  • Regra da potência/cadeia: se h(x) é uma função diferenciável e n é um número, então
\bigl(h(x)\bigr)^{n}'=n\bigl(h(x)\bigr)^{n-1}\cdot h'(x),
ou seja, deriva-se a potência como n vezes a mesma potência com expoente reduzido e multiplica-se pela derivada de h.
  • Regra do polinômio/potência (caso particular): para x^{m} vale
\frac{d}{dx}x^{m}=m x^{m-1}.

Passo 4

Calcular u(x) e sua derivada u'(x). Primeiro expandindo u para facilitar:
u(x)=x^{2}\left(x^{2}+3\right)=x^{4}+3x^{2}.
Aplicando a regra do polinômio:
u'(x)=\frac{d}{dx}\left(x^{4}+3x^{2}\right)=4x^{3}+6x.

Passo 5

Calcular v(x) e sua derivada v'(x). Já temos
v(x)=\left(x^{2}+1\right)^{-2}.
Aplicando a regra da potência/cadeia com h(x)=x^{2}+1 e n=-2:
v'(x)=-2\left(x^{2}+1\right)^{-3}\cdot\frac{d}{dx}\left(x^{2}+1\right).
Como \frac{d}{dx}\left(x^{2}+1\right)=2x, concluímos
v'(x)=-2\left(x^{2}+1\right)^{-3}\cdot 2x = -4x\left(x^{2}+1\right)^{-3}.

Passo 6

Agora aplico a regra do produto f'=u'v+uv'. Substituindo u, u', v, v':
f'(x)=(4x^{3}+6x)\left(x^{2}+1\right)^{-2}+\left(x^{4}+3x^{2}\right)\bigl(-4x\left(x^{2}+1\right)^{-3}\bigr).

Passo 7

Coloco em evidência o fator comum \left(x^{2}+1\right)^{-3} para simplificar. Observe que \left(x^{2}+1\right)^{-2}=\left(x^{2}+1\right)^{-3}\left(x^{2}+1\right). Assim
f'(x)=\left(x^{2}+1\right)^{-3}\Bigl[(4x^{3}+6x)\left(x^{2}+1\right)+(x^{4}+3x^{2})(-4x)\Bigr].

Passo 8

Faço as multiplicações dentro do colchete e simplifico passo a passo:
Primeiro, expandindo o primeiro produto:
(4x^{3}+6x)\left(x^{2}+1\right)=4x^{5}+10x^{3}+6x.
O segundo produto é
(x^{4}+3x^{2})(-4x)=-4x^{5}-12x^{3}.
Somando os dois resultados:
4x^{5}+10x^{3}+6x-4x^{5}-12x^{3} = -2x^{3}+6x.
Fatorando 2x em -2x^{3}+6x obtemos
-2x^{3}+6x = 2x(3-x^{2}).

Passo 9

Substituindo essa simplificação de volta na expressão com o fator comum:
f'(x)=\left(x^{2}+1\right)^{-3}\cdot 2x(3-x^{2}).
Reescrevendo com denominador positivo,
f'(x)=\frac{2x(3-x^{2})}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}.

Resposta

f'(x)=\frac{2x(3-x^{2})}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}

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