Esboce a regiāo de integraçāo e faça a mudança da ordem de integração.
\int_{1}^{6} \int_{4 x}^{4} f(x, y) d y d x

Passo 1

O enunciado dá a integral iterada
\int_{1}^{6}\int_{4x}^{4} f(x,y)\,dy\,dx.
Pediram: (a) esboçar a região de integração; (b) fazer a mudança da ordem de integração. As informações relevantes são:
  • x varia de 1 até 6.
  • Para cada x (no intervalo acima) a variável y vai de y=4x até y=4.

Passo 2

Interpretação geométrica das desigualdades: os pares (x,y) considerados satisfazem
1\le x\le 6,\qquad 4x\le y\le 4.
Essas duas curvas/retas importantes são:
  • A reta horizontal y=4.
  • A reta que passa pela origem com inclinação 4: y=4x.
    Também temos as retas verticais x=1 e x=6. As interseções úteis:
  • Em x=1 a reta y=4x y=4 (ponto (1,4)).
  • Em x=6 a reta y=4x y=24 (ponto (6,24)).

Passo 3

Comentário importante sobre os limites escritos: para x>1 temos 4x>4, isto é, o limite inferior 4x é maior que o limite superior 4. Na integração iterada isso significa que, ponto a ponto,
\int_{4x}^{4} f(x,y)\,dy = -\int_{4}^{4x} f(x,y)\,dy.
Portanto podemos reescrever a integral dada como
\int_{1}^{6}\int_{4x}^{4} f(x,y)\,dy\,dx \;=\; -\int_{1}^{6}\int_{4}^{4x} f(x,y)\,dy\,dx.
Essa reescrita é útil porque agora a região onde 4\le y\le 4x é visualmente não vazia.

Passo 4

Descrever a região correspondente à integral \displaystyle\int_{1}^{6}\int_{4}^{4x} \cdots dy\,dx. Essa região D' é
D'=\{(x,y)\\ :\\\ 1\le x\le 6,\; 4\le y\le 4x\}.
Geometricamente é a região limitada por:
  • abaixo por y=4,
  • acima por y=4x,
  • à esquerda por x=1,
  • à direita por x=6.
    No plano (x,y) isso forma uma região em forma de trapézio/“fatia” entre as retas indicadas, com y variando de 4 (quando x=1) até 24 (quando x=6).

Passo 5

Para inverter a ordem de integração, fixamos um valor de y e determinamos os x possíveis. A condição (x,y)\in D' é equivalente a
4\le y\le 4x\qquad\text{e}\qquad 1\le x\le 6.
Da desigualdade y\le 4x obtemos x\ge \dfrac{y}{4}. Juntando com x\le 6 e x\ge 1, para um y dado os x válidos ficam entre \max\{1,\tfrac{y}{4}\} e 6. Agora precisamos do intervalo de y: como na região y vai no mínimo ser 4 (linha inferior) e no máximo 4\cdot 6=24 (no ponto x=6), temos
4\le y\le 24.
Para esses y, note que \dfrac{y}{4} varia de 1 até 6, então sempre \dfrac{y}{4}\ge 1. Logo \max\{1,\tfrac{y}{4}\}=\dfrac{y}{4}. Portanto, para cada y\in[4,24] o x varia de x=\dfrac{y}{4} até x=6.

Passo 6

Assim a integral que apareceu em

Passo 7

\int_{1}^{6}\int_{4}^{4x} f(x,y)\,dy\,dx \;=\; \int_{y=4}^{24}\int_{x=y/4}^{6} f(x,y)\,dx\,dy.
Lembrando do sinal negativo que introduzimos no Passo 3, a integral original fica
\int_{1}^{6}\int_{4x}^{4} f(x,y)\,dy\,dx \;=\; -\int_{4}^{24}\int_{y/4}^{6} f(x,y)\,dx\,dy.

Passo 8

Resumo prático para decorar (método que se usa em provas):
  • Identifique as curvas y=g_1(x) e y=g_2(x) e as retas verticais dadas pelos limites de x.
  • Se algum limite interno estiver “invertido” (menor maior que maior), reescreva com sinal negativo e troque os limites internos.
  • Para trocar a ordem: resolva as desigualdades para x em função de y e ache o intervalo total de y.
  • Escreva a nova integral com y variando entre os extremos encontrados e x entre as curvas invertidas.

Resposta

\int_{1}^{6}\int_{4x}^{4} f(x,y)\,dy\,dx \;=\; -\int_{4}^{24}\int_{y/4}^{6} f(x,y)\,dx\,dy

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