Esboce a regiāo de integraçāo e faça a mudança da ordem de integração.
Passo 1
O enunciado dá a integral iterada
Pediram: (a) esboçar a região de integração; (b) fazer a mudança da ordem de integração. As informações relevantes são:
-
varia de até . - Para cada
(no intervalo acima) a variável vai de até .
Passo 2
Interpretação geométrica das desigualdades: os pares
considerados satisfazem
Essas duas curvas/retas importantes são:
- A reta horizontal
. - A reta que passa pela origem com inclinação
: .
Também temos as retas verticaise . As interseções úteis: - Em
a reta dá (ponto ). - Em
a reta dá (ponto ).
Passo 3
Comentário importante sobre os limites escritos: para
temos
, isto é, o limite inferior
é maior que o limite superior
. Na integração iterada isso significa que, ponto a ponto,
Portanto podemos reescrever a integral dada como
Essa reescrita é útil porque agora a região onde
é visualmente não vazia.
Passo 4
Descrever a região correspondente à integral
. Essa região
é
Geometricamente é a região limitada por:
- abaixo por
, - acima por
, - à esquerda por
, - à direita por
.
No planoisso forma uma região em forma de trapézio/“fatia” entre as retas indicadas, com variando de (quando ) até (quando ).
Passo 5
Para inverter a ordem de integração, fixamos um valor de
e determinamos os
possíveis. A condição
é equivalente a
Da desigualdade
obtemos
. Juntando com
e
, para um
dado os
válidos ficam entre
e
. Agora precisamos do intervalo de
: como na região
vai no mínimo ser
(linha inferior) e no máximo
(no ponto
), temos
Para esses
, note que
varia de
até
, então sempre
. Logo
. Portanto, para cada
o
varia de
até
.
Passo 6
Assim a integral que apareceu em
Passo 7
Lembrando do sinal negativo que introduzimos no Passo 3, a integral original fica
Passo 8
Resumo prático para decorar (método que se usa em provas):
- Identifique as curvas
e e as retas verticais dadas pelos limites de . - Se algum limite interno estiver “invertido” (menor maior que maior), reescreva com sinal negativo e troque os limites internos.
- Para trocar a ordem: resolva as desigualdades para
em função de e ache o intervalo total de . - Escreva a nova integral com
variando entre os extremos encontrados e entre as curvas invertidas.