Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral:
\int_{0}^{\infty} \operatorname{sen} x dx

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral
\int_{0}^{\infty} \operatorname{sen} x\,dx
converge ou diverge e, se convergir, calcular o valor. As informações dadas são apenas a expressão da integral própria em intervalo infinito, com integrando \operatorname{sen} x (seno de x) no intervalo de 0 até +\infty.

Passo 2

Definição de integral imprópria sobre intervalo infinito (coisa importante para a prova): a integral
\int_{0}^{\infty} f(x)\,dx
é definida como o limite
\lim_{A\to\infty}\int_{0}^{A} f(x)\,dx,
desde que esse limite exista e seja finito. Ou seja, calculamos a integral definida até um ponto A qualquer, e depois vemos se o resultado tem limite quando A vai para infinito. Se esse limite existe e é um número real, dizemos que a integral converge; caso contrário, diverge.

Passo 3

Calcular a integral definida até um ponto A>0. Primeiro sabemos uma primitiva simples de \operatorname{sen} x: uma primitiva é -\cos x porque derivando -\cos x obtém-se \sin x. Portanto,
\int_{0}^{A} \operatorname{sen} x\,dx = \left[-\cos x\right]_{0}^{A} = -\cos A - \big(-\cos 0\big).
Como \cos 0 = 1, isso dá
\int_{0}^{A} \operatorname{sen} x\,dx = 1 - \cos A.

Passo 4

Analisar o limite quando A\to\infty da expressão obtida:
\lim_{A\to\infty} \big(1 - \cos A\big).
A função \cos A oscila entre -1 e 1 quando A cresce, não se aproximando de um único valor. Para ver isso de forma clara, considere duas sequências de pontos que tendem a infinito:
  • se A_n = 2\pi n com n\in\mathbb{N}, então \cos A_n = 1 e 1-\cos A_n = 0;
  • se B_n = (2n+1)\pi, então \cos B_n = -1 e 1-\cos B_n = 2.
Como existem subsequências de A\to\infty que levam a limites distintos ( 0 e 2), o limite \lim_{A\to\infty} (1-\cos A) não existe. Portanto a definição de integral imprópria falha: o limite que a definia não existe.

Passo 5

Conclusão principal com justificativa: pelo critério da definição de integral imprópria sobre [0,\infty), a integral
\int_{0}^{\infty} \operatorname{sen} x\,dx
não possui limite quando expandimos o limite superior para +\infty, logo a integral diverge.

Passo 6

Comentário didático extra (útil para a prova e entendimento): alguns livros ou contextos usam métodos de “regularização” (por exemplo somação de Abel) para atribuir um valor “assintótico” à integral oscilante. Por exemplo, calculando primeiro
\int_{0}^{\infty} e^{-a x}\operatorname{sen} x\,dx \quad (a>0)
obtém-se \dfrac{1}{1+a^{2}}, e fazendo a\to 0^{+} chega-se a 1. Isso mostra que, via regularização de Abel, a integral poderia ser associada ao valor 1. Porém isto NÃO é convergência no sentido usual de integral imprópria que usamos em cálculo elementar; é apenas uma técnica alternativa. Para provas e questões de análise real, a resposta correta é que a integral diverge.

Resposta

A integral diverge.

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