Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral
converge ou diverge e, se convergir, calcular o valor. As informações dadas são apenas a expressão da integral própria em intervalo infinito, com integrando
(seno de
) no intervalo de
até
.
Passo 2
Definição de integral imprópria sobre intervalo infinito (coisa importante para a prova): a integral
é definida como o limite
desde que esse limite exista e seja finito. Ou seja, calculamos a integral definida até um ponto
qualquer, e depois vemos se o resultado tem limite quando
vai para infinito. Se esse limite existe e é um número real, dizemos que a integral converge; caso contrário, diverge.
Passo 3
Calcular a integral definida até um ponto
. Primeiro sabemos uma primitiva simples de
: uma primitiva é
porque derivando
obtém-se
. Portanto,
Como
, isso dá
Passo 4
Analisar o limite quando
da expressão obtida:
A função
oscila entre
e
quando
cresce, não se aproximando de um único valor. Para ver isso de forma clara, considere duas sequências de pontos que tendem a infinito:
- se
com , então e ; - se
, então e .
Como existem subsequências de
que levam a limites distintos (
e
), o limite
não existe. Portanto a definição de integral imprópria falha: o limite que a definia não existe.
Passo 5
Conclusão principal com justificativa: pelo critério da definição de integral imprópria sobre
, a integral
não possui limite quando expandimos o limite superior para
, logo a integral diverge.
Passo 6
Comentário didático extra (útil para a prova e entendimento): alguns livros ou contextos usam métodos de “regularização” (por exemplo somação de Abel) para atribuir um valor “assintótico” à integral oscilante. Por exemplo, calculando primeiro
obtém-se
, e fazendo
chega-se a
. Isso mostra que, via regularização de Abel, a integral poderia ser associada ao valor
. Porém isto NÃO é convergência no sentido usual de integral imprópria que usamos em cálculo elementar; é apenas uma técnica alternativa. Para provas e questões de análise real, a resposta correta é que a integral diverge.
Resposta
A integral diverge.