Considere a função de uma variável real f(x)=x+2, definida no intervalo I=[-20,20].
a-) Determine uma partição P do intervalo I contendo n=12 elementos.
b-) Calcule e liste todos os n-1 valores para \triangle \mathrm{X} k. Qual é o valor da norma \|P\| da partição P ?
c-) Liste todos os n-1 valores de C k escolhidos.
d-) Calcule a Soma de Riemann da partição P.
Observação: Na resolução deste exercício, em nenhuma etapa é necessária a construção
do gráfico da função

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x+2 definida no intervalo I=[-20,20] e pede quatro coisas:
  • (a) determinar uma partição P de I contendo n=12 elementos (ou seja, 12 pontos da partição);
  • (b) calcular e listar todos os n-1 valores de \triangle X_k (larguras dos subintervalos) e achar a norma \|P\|;
  • (c) listar todos os n-1 valores de C_k escolhidos (pontos de amostragem em cada subintervalo);
  • (d) calcular a Soma de Riemann associada a essa partição e a escolha de C_k.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • I=[-20,20].
  • n=12 pontos da partição \Rightarrow n-1=11 subintervalos.
  • f(x)=x+2.

Passo 2

Escolho, por simplicidade (método usual em provas), uma partição uniforme com 12 pontos igualmente espaçados em [-20,20]. Primeiro calculemos o tamanho total do intervalo:
\text{comprimento}(I)=20-(-20)=40.
Como queremos 11 subintervalos iguais, cada largura será
\Delta = \frac{40}{11}.
Defino os pontos da partição como x_j para j=0,1,\dots,11 com
x_j = -20 + j\cdot\frac{40}{11} = \frac{40j-220}{11}.
Lista explícita (forma fracionária e aproximação decimal):
\begin{aligned} x_0&=\frac{-220}{11}=-20,\\\ x_1&=\frac{40-220}{11}=\frac{-180}{11}\approx -16{,}3636\ldots,\\\ x_2&=\frac{80-220}{11}=\frac{-140}{11}\approx -12{,}7273\ldots,\\\ x_3&=\frac{120-220}{11}=\frac{-100}{11}\approx -9{,}0909\ldots,\\\ x_4&=\frac{160-220}{11}=\frac{-60}{11}\approx -5{,}4545\ldots,\\\ x_5&=\frac{200-220}{11}=\frac{-20}{11}\approx -1{,}8182\ldots,\\\ x_6&=\frac{240-220}{11}=\frac{20}{11}\approx 1{,}8182\ldots,\\\ x_7&=\frac{280-220}{11}=\frac{60}{11}\approx 5{,}4545\ldots,\\\ x_8&=\frac{320-220}{11}=\frac{100}{11}\approx 9{,}0909\ldots,\\\ x_9&=\frac{360-220}{11}=\frac{140}{11}\approx 12{,}7273\ldots,\\\ x_{10}&=\frac{400-220}{11}=\frac{180}{11}\approx 16{,}3636\ldots,\\\ x_{11}&=\frac{440-220}{11}=\frac{220}{11}=20. \end{aligned}

Passo 3

Agora calculamos as larguras dos subintervalos \triangle X_k. Por definição, para k=1,\dots,11,
\triangle X_k = x_k - x_{k-1}.
Como a partição é uniforme temos, para todo k,
\triangle X_k = \frac{40}{11}.
Então os 11 valores são todos iguais:
\triangle X_1=\triangle X_2=\cdots=\triangle X_{11}=\frac{40}{11}\approx 3{,}63636\ldots
A norma da partição \|P\| é o máximo das larguras dos subintervalos. Como todos são iguais,
\|P\|=\max_k \triangle X_k=\frac{40}{11}.

Passo 4

Escolho os pontos de amostragem C_k como os pontos médios de cada subintervalo (opção frequente em provas porque simplifica somas e tem boas propriedades). Para k=1,\dots,11,
C_k=\frac{x_{k-1}+x_k}{2}.
Usando x_j=\dfrac{40j-220}{11} e simplificando obtém-se a fórmula fechada
C_k=\frac{40k-240}{11}.
Lista dos 11 pontos médios (fração e aproximação):
\begin{aligned} C_1&=\frac{-200}{11}\approx -18{,}1818\ldots,\\\ C_2&=\frac{-160}{11}\approx -14{,}5454\ldots,\\\ C_3&=\frac{-120}{11}\approx -10{,}9090\ldots,\\\ C_4&=\frac{-80}{11}\approx -7{,}2727\ldots,\\\ C_5&=\frac{-40}{11}\approx -3{,}6363\ldots,\\\ C_6&=\frac{0}{11}=0,\\\ C_7&=\frac{40}{11}\approx 3{,}6363\ldots,\\\ C_8&=\frac{80}{11}\approx 7{,}2727\ldots,\\\ C_9&=\frac{120}{11}\approx 10{,}9090\ldots,\\\ C_{10}&=\frac{160}{11}\approx 14{,}5454\ldots,\\\ C_{11}&=\frac{200}{11}\approx 18{,}1818\ldots. \end{aligned}

Passo 5

Hora da Soma de Riemann. Por definição, a soma de Riemann associada a P e aos pontos C_k é
S(P,f)=\sum_{k=1}^{11} f(C_k)\,\triangle X_k.
Aqui f(x)=x+2, logo f(C_k)=C_k+2. Como todas as \triangle X_k são iguais a \Delta=\dfrac{40}{11}, podemos escrever
S(P,f)=\frac{40}{11}\sum_{k=1}^{11} \big(C_k+2\big) =\frac{40}{11}\left(\sum_{k=1}^{11} C_k + \sum_{k=1}^{11}2\right).
Observação útil: os pontos médios C_k são simétricos em torno de 0 (para cada C_k negativo há um C_{12-k}=-C_k), então
\sum_{k=1}^{11} C_k = 0.
Portanto
S(P,f)=\frac{40}{11}\left(0 + 11\cdot 2\right) =\frac{40}{11}\cdot 22.
Calculando,
\frac{40}{11}\cdot 22 = 40\cdot 2 = 80.
Logo a Soma de Riemann pedida vale 80. (Intuição: como f(x)=x+2 tem média sobre o intervalo igual a 2 pelo termo x simétrico, a integral aproximada pela soma com pontos médios dá 2\cdot 40=80.)

Resposta

(a) P=\left\{x_j = \dfrac{40j-220}{11}\mid j=0,1,\dots,11\right\}=\{-20,\,-\tfrac{180}{11},\,-\tfrac{140}{11},\,-\tfrac{100}{11},\,-\tfrac{60}{11},\,-\tfrac{20}{11},\tfrac{20}{11},\tfrac{60}{11},\tfrac{100}{11},\tfrac{140}{11},\tfrac{180}{11},\,20\}.
(b) \triangle X_1=\triangle X_2=\cdots=\triangle X_{11}=\dfrac{40}{11} e \|P\|=\dfrac{40}{11}.
(c) C_k=\dfrac{40k-240}{11} para k=1,\dots,11, isto é \left\{-\tfrac{200}{11},-\tfrac{160}{11},-\tfrac{120}{11},-\tfrac{80}{11},-\tfrac{40}{11},0,\tfrac{40}{11},\tfrac{80}{11},\tfrac{120}{11},\tfrac{160}{11},\tfrac{200}{11}\right\}.
(d) S(P,f)=80.

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