Considere a função de uma variável real
, definida no intervalo
.
a-) Determine uma partição
do intervalo
contendo
elementos.
b-) Calcule e liste todos os
valores para
. Qual é o valor da norma
da partição
?
c-) Liste todos os
valores de
escolhidos.
d-) Calcule a Soma de Riemann da partição
.
Observação: Na resolução deste exercício, em nenhuma etapa é necessária a construção
do gráfico da função
a-) Determine uma partição
b-) Calcule e liste todos os
c-) Liste todos os
d-) Calcule a Soma de Riemann da partição
do gráfico da função
Passo 1
O enunciado dá a função
definida no intervalo
e pede quatro coisas:
- (a) determinar uma partição
de contendo elementos (ou seja, 12 pontos da partição); - (b) calcular e listar todos os
valores de (larguras dos subintervalos) e achar a norma ; - (c) listar todos os
valores de escolhidos (pontos de amostragem em cada subintervalo); - (d) calcular a Soma de Riemann associada a essa partição e a escolha de
.
Informações importantes extraídas do enunciado:
-
. -
pontos da partição há subintervalos. -
.
Passo 2
Escolho, por simplicidade (método usual em provas), uma partição uniforme com 12 pontos igualmente espaçados em
. Primeiro calculemos o tamanho total do intervalo:
Como queremos 11 subintervalos iguais, cada largura será
Defino os pontos da partição como
para
com
Lista explícita (forma fracionária e aproximação decimal):
Passo 3
Agora calculamos as larguras dos subintervalos
. Por definição, para
,
Como a partição é uniforme temos, para todo
,
Então os
valores são todos iguais:
A norma da partição
é o máximo das larguras dos subintervalos. Como todos são iguais,
Passo 4
Escolho os pontos de amostragem
como os pontos médios de cada subintervalo (opção frequente em provas porque simplifica somas e tem boas propriedades). Para
,
Usando
e simplificando obtém-se a fórmula fechada
Lista dos
pontos médios (fração e aproximação):
Passo 5
Hora da Soma de Riemann. Por definição, a soma de Riemann associada a
e aos pontos
é
Aqui
, logo
. Como todas as
são iguais a
, podemos escrever
Observação útil: os pontos médios
são simétricos em torno de
(para cada
negativo há um
), então
Portanto
Calculando,
Logo a Soma de Riemann pedida vale
. (Intuição: como
tem média sobre o intervalo igual a
pelo termo
simétrico, a integral aproximada pela soma com pontos médios dá
.)
Resposta
(a)
.
(b)
e
.
(c)
para
, isto é
.
(d)
.