Derivar as funções numeradas de 17 a 24 .
Resolução:
A função pode ser escrita assim:
ou:
, com
Então:
Então:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar a derivada em relação a
, isto é,
. Informação relevante dada: a função está explícita em termos de
e pode ser reescrita em potência.
Passo 2
Vamos recordar duas regras que vamos usar (explicadas com calma):
- Regra da potência (para uma função simples): se
, onde é uma variável ou expressão e é um número, então a derivada de em relação a é
Aqui
é a expressão interna e
é o expoente. Por exemplo, se
então
.
- Regra da cadeia (quando há uma composição de funções): se
e , isto é, é uma função de e é uma função de , então
Na prática: deriva-se a função exterior em relação à variável interior e multiplica-se pela derivada da variável interior em relação a
.
Passo 3
Reescreve a função em potência para aplicar a regra da potência claramente:
Identificamos a função interior
como
de modo que podemos ver
como
Passo 4
Derivada da função exterior
em relação a
: aplicar a regra da potência com
.
Expliquei: usei
e subi o expoente multiplicando, depois diminui o expoente em uma unidade.
Passo 5
Derivada da função interior
em relação a
:
é uma soma/constante e uma constante vezes
, então
Expliquei: a derivada de uma constante é
e a derivada de
é
.
Passo 6
Agora aplicamos a regra da cadeia:
Multiplicando os sinais e simplificando:
Voltando à variável
substituindo
:
Comentário final: o sinal negativo de
e o sinal negativo de
se cancelam, resultando em sinal positivo.
Passo 7
Verificação rápida (opcional): usando a regra do quociente em
teríamos
confirmando o resultado anterior.