Derivar as funções numeradas de 17 a 24 .
y=\frac{1}{1-2 x}

Resolução:

A função pode ser escrita assim: y=(1-2 x)^{-1} ou:
\mathrm{y}=\mathrm{u}^{-1}, com \mathrm{u}=1-2 \mathrm{x}
\frac{d y}{d u}=-u^{-1-1}=-u^{-2}=-\frac{1}{u^{2}}
\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}=-2 \Rightarrow \mathrm{du}=-2 \mathrm{dx}
Então:
\frac{d y}{d u}=\frac{d y}{-2 d x}=-\frac{1}{(1-2 x)^{2}}
\frac{d y}{d x}=\frac{2}{(1-2 x)^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função y=\frac{1}{1-2x}
e pede para encontrar a derivada em relação a x, isto é, \dfrac{dy}{dx}. Informação relevante dada: a função está explícita em termos de x e pode ser reescrita em potência.

Passo 2

Vamos recordar duas regras que vamos usar (explicadas com calma):
  • Regra da potência (para uma função simples): se y=u^{n}, onde u é uma variável ou expressão e n é um número, então a derivada de y em relação a u é
\frac{dy}{du}=n\,u^{\,n-1}.
Aqui u é a expressão interna e n é o expoente. Por exemplo, se y=u^{3} então \dfrac{dy}{du}=3u^{2}.
  • Regra da cadeia (quando há uma composição de funções): se y=f(u) e u=g(x), isto é, y é uma função de u e u é uma função de x, então
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}.
Na prática: deriva-se a função exterior em relação à variável interior e multiplica-se pela derivada da variável interior em relação a x.

Passo 3

Reescreve a função em potência para aplicar a regra da potência claramente:
y=(1-2x)^{-1}.
Identificamos a função interior u como
u=1-2x,
de modo que podemos ver y como
y=u^{-1}.

Passo 4

Derivada da função exterior y em relação a u: aplicar a regra da potência com n=-1.
\frac{dy}{du}=(-1)\,u^{-1-1}= -1\cdot u^{-2}= -u^{-2}.
Expliquei: usei n=-1 e subi o expoente multiplicando, depois diminui o expoente em uma unidade.

Passo 5

Derivada da função interior u em relação a x: u=1-2x é uma soma/constante e uma constante vezes x, então
\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}(1)-\frac{d}{dx}(2x)=0-2=-2.
Expliquei: a derivada de uma constante é 0 e a derivada de 2x é 2.

Passo 6

Agora aplicamos a regra da cadeia:
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=(-u^{-2})\cdot(-2).
Multiplicando os sinais e simplificando:
\frac{dy}{dx}=2\,u^{-2}.
Voltando à variável x substituindo u=1-2x:
\frac{dy}{dx}=2\,(1-2x)^{-2}=\frac{2}{(1-2x)^{2}}.
Comentário final: o sinal negativo de \dfrac{dy}{du} e o sinal negativo de \dfrac{du}{dx} se cancelam, resultando em sinal positivo.

Passo 7

Verificação rápida (opcional): usando a regra do quociente em \displaystyle y=\frac{1}{1-2x} teríamos
\frac{dy}{dx}=\frac{0\cdot(1-2x)-1\cdot(-2)}{(1-2x)^{2}}=\frac{2}{(1-2x)^{2}},
confirmando o resultado anterior.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{2}{(1-2x)^{2}}

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