Derivar as funções paramétricas: f(x)=\left\{\begin{array}{l}8 \cos ^{3} t \\\\ 8 \operatorname{sen}^{3} t\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado nos dá uma curva descrita de forma paramétrica por
x(t) = 8\cos^3 t, \qquad y(t) = 8\operatorname{sen}^3 t
e pede para derivar essa função paramétrica, ou seja, encontrar \dfrac{dx}{dt}, \dfrac{dy}{dt} e a derivada \dfrac{dy}{dx}. O conteúdo aqui é a regra da cadeia aplicada a funções trigonométricas.
Passo 2
Vamos calcular primeiro
\frac{dx}{dt}.
Como x(t)=8(\cos t)^3, usamos a regra da cadeia: a derivada de (\cos t)^3 é
3(\cos t)^2 \cdot \bigl(\frac{d}{dt}\cos t\bigr) =3\cos^2 t \cdot(-\operatorname{sen} t) =-3\cos^2 t\,\operatorname{sen} t.
Multiplicando pelo fator externo 8, obtemos
\frac{dx}{dt} =8\cdot\bigl(-3\cos^2 t\,\operatorname{sen} t\bigr) =-24\cos^2 t\,\operatorname{sen} t.
Passo 3
Agora calculamos
\frac{dy}{dt}.
Como y(t)=8(\operatorname{sen} t)^3, de novo pela regra da cadeia a derivada de (\operatorname{sen} t)^3 é
3(\operatorname{sen} t)^2 \cdot \bigl(\frac{d}{dt}\operatorname{sen} t\bigr) =3\operatorname{sen}^2 t \cdot\cos t =3\operatorname{sen}^2 t\,\cos t.
Multiplicando por 8 resulta
\frac{dy}{dt} =8\cdot\bigl(3\operatorname{sen}^2 t\,\cos t\bigr) =24\operatorname{sen}^2 t\,\cos t.