Derivar as funções implícitas:
x^{3}+y^{3}=5^{3}

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos \tfrac{dy}{dx} dado que
x^{3} + y^{3} = 5^{3}.
O conteúdo aqui é derivação implícita: vamos usar a regra da potência e a regra da cadeia para derivar y^{3} em função de x.

Passo 2

Derivamos ambos os lados da igualdade em relação a x. Para x^{3} usamos a regra da potência; para y^{3} usamos potência + cadeia; e o lado direito é constante:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(y^{3}\bigr) = \frac{d}{dx}\bigl(5^{3}\bigr).
Isso dá
3x^{2} + 3y^{2}\,\frac{dy}{dx} = 0.

Passo 3

Agora isolamos \tfrac{dy}{dx}. Subtraindo 3x^{2} e dividindo por 3y^{2} resulta
3y^{2}\,\frac{dy}{dx} = -3x^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{3x^{2}}{3y^{2}} = -\frac{x^{2}}{y^{2}}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = -\frac{x^{2}}{y^{2}}.

Exercícios relacionados