Derivar as funções paramétricas:
f(x)=\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos (t) \\\ y=3 \operatorname{sen}(t)\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá as funções paramétricas
x = 2\cos(t), \qquad y = 3\sin(t)
e pede a derivada \frac{dy}{dx}. Para isso, vamos usar a regra de derivação paramétrica, que diz
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}.

Passo 2

Calculamos \frac{dx}{dt}. Derivando x=2\cos(t) em relação a t,
\frac{dx}{dt} = -2\sin(t).

Passo 3

Calculamos \frac{dy}{dt}. Derivando y=3\sin(t) em relação a t,
\frac{dy}{dt} = 3\cos(t).

Passo 4

Aplicamos a regra paramétrica:
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{3\cos(t)}{-2\sin(t)} = -\frac{3}{2}\,\cot(t),
desde que \sin(t)\neq0.

Resposta

\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{2}\,\cot(t).

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