Derivar implicitamente
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para derivar implicitamente a equação
. A matéria que estamos trabalhando aqui é cálculo, especificamente derivação implícita. Para resolver isso, vamos precisar saber como aplicar a regra da cadeia e derivar funções que estão misturadas como nessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
(ou seja,
), então quando derivamos termos que contêm
, precisamos usar a regra da cadeia.
Passo 3
Começando pelo primeiro termo
. Aplicando a regra da cadeia, a derivada é:
Aqui, derivamos a potência 4 e multiplicamos pela derivada interna de
, que é
porque a derivada de
é 1 e a derivada de
em relação a
é
.
Passo 4
Agora, derivamos o segundo termo
. Aplicando a regra da cadeia:
Derivamos a potência 2 e multiplicamos pela derivada interna de
, que é
porque a derivada de
é 1 e a derivada de
é
.
Passo 5
Derivando o lado direito da equação, que é 16, obtemos 0, já que a derivada de uma constante é zero.
Passo 6
Agora, juntamos tudo:
Passo 7
Vamos resolver para
. Primeiro, distribuímos os termos:
Passo 8
Agora, agrupamos os termos que contêm
e os que não contêm:
Passo 9
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A derivada implícita é: