Derivar implicitamente (x+y)^4-(x-y)^2=16.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para derivar implicitamente a equação (x+y)^4 - (x-y)^2 = 16. A matéria que estamos trabalhando aqui é cálculo, especificamente derivação implícita. Para resolver isso, vamos precisar saber como aplicar a regra da cadeia e derivar funções que estão misturadas como nessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre-se que y é uma função de x (ou seja, y = y(x)), então quando derivamos termos que contêm y, precisamos usar a regra da cadeia.

Passo 3

Começando pelo primeiro termo (x + y)^4. Aplicando a regra da cadeia, a derivada é:
4(x + y)^3 cdot (1 + dydx)
Aqui, derivamos a potência 4 e multiplicamos pela derivada interna de (x + y), que é 1 + dydx porque a derivada de x é 1 e a derivada de y em relação a x é dydx.

Passo 4

Agora, derivamos o segundo termo -(x - y)^2. Aplicando a regra da cadeia:
-2(x - y) cdot (1 - dydx)
Derivamos a potência 2 e multiplicamos pela derivada interna de (x - y), que é 1 - dydx porque a derivada de x é 1 e a derivada de -y é -dydx.

Passo 5

Derivando o lado direito da equação, que é 16, obtemos 0, já que a derivada de uma constante é zero.

Passo 6

Agora, juntamos tudo:
4(x + y)^3 (1 + dydx) - 2(x - y)(1 - dydx) = 0

Passo 7

Vamos resolver para dydx. Primeiro, distribuímos os termos:
4(x + y)^3 + 4(x + y)^3 dydx - 2(x - y) + 2(x - y) dydx = 0

Passo 8

Agora, agrupamos os termos que contêm dydx e os que não contêm:
[4(x + y)^3 + 2(x - y)] dydx = -4(x + y)^3 + 2(x - y)

Passo 9

Finalmente, isolamos dydx:
dydx = -4(x + y)^3 + 2(x - y)4(x + y)^3 + 2(x - y)

Resposta

A derivada implícita é:
dydx = -4(x + y)^3 + 2(x - y)4(x + y)^3 + 2(x - y)

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