A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo
(metros) é dada por
. No tempo
(segundos), calcule:
b) a velocidade instantânea;
b) a velocidade instantânea;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos diz que a posição de uma partícula ao longo do eixo $ x $ é dada por $ x = 5 - 2t + t^{4} $, onde $ t $ é o tempo em segundos. Queremos descobrir qual é a velocidade instantânea dessa partícula no tempo $ t = 2 $ segundos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente as derivadas, já que a velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa velocidade instantânea. Ela representa a taxa de variação da posição em um instante específico de tempo. Matematicamente, isso é calculado tomando a derivada da função de posição $ x(t) $ em relação ao tempo $ t $. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada da função de posição $ x = 5 - 2t + t^{4} $. Vamos derivar cada termo separadamente:
- A derivada de uma constante é zero, então a derivada de $ 5 $ é $ 0 $.
- A derivada de $ -2t $ em relação a $ t $ é $ -2 $.
- A derivada de $ t^{4} $ em relação a $ t $ é $ 4t^{3} $.
Então, juntando tudo:
Portanto, a função da velocidade é:
Passo 4
Agora que temos a função da velocidade, vamos calcular seu valor no tempo $ t = 2 $ segundos. Basta substituir $ t $ por $ 2 $ na expressão da velocidade:
Resposta
A velocidade instantânea da partícula no tempo $ t = 2 $ segundos é de 30 metros por segundo.