Para os exercícios abaixo, é possível aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo? Se for possível, calcule a integral e se não for possível, explique qual o problema com a integral. Faça um esboço da função (integrando) com especial atenção no intervalo de integração.
integral0^1 ln (x) d x.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos estudar a integral integral0^1 ln(x),dx, verificar se dá pra aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo e, se sim, calcular o valor.

Passo 2

Analisando o integrando: a função ln(x) é contínua em (0,1] mas não está definida em x=0, pois limxto0^+ln(x)=-infty. Logo nossa integral é imprópria e precisa ser interpretada como
integral0^1 ln(x),dx = limato0^+ integrala^1 ln(x),dx

Passo 3

Achando a antiderivada por partes: seja u=ln(x), dv=dx. Então du=1xdx e v=x. Assim
integral ln(x),dx = xln(x) - integral xcdot1x,dx = xln(x) - integral 1,dx = xln(x) - x + C

Passo 4

Aplicando nos limites com F(x)=xln(x)-x:
I = limato0^+l[F(1)-F(a)r]
Calculando
F(1)=1cdotln(1)-1 = -1,
limato0^+F(a)=limato0^+(aln(a)-a)=0-0=0

Passo 5

Concluímos que
integral0^1 ln(x),dx = (-1)-0 = -1

Passo 6

Esboço da função y=ln(x) em [0,1]: ao aproximar de x=0 a curva mergulha para -infty, cresce de forma côncava até passar por (1,0). Um desenho aproximado em ASCII:
 y
 ^
0|          *  ← (1,0)
 |        *
 |      *
 |    *
 |  *
 |*
-|----------------→ x
 0                   1

Resposta

-1

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