Derivar
l u=x e^n x=alpha^2 beta, y=beta^2 gamma t=gamma^2 alpha: partial upartial alpha cdot partial^prime upartial beta cdot partial upartial gamma quando alpha=-1 beta=2 gamma=1

Passo 1

O enunciado dá a função intermediária u em termos de x e t: u(x,t)=x
e^{t}, com x=α^{2}β e t=γ^{2}α. Precisamos aplicar a regra da cadeia para achar ∂u/∂α, ∂u/∂β e ∂u/∂γ e depois multiplicar esses três resultados no ponto α=−1, β=2, γ=1.

Passo 2

Primeiro escrevemos u explicitamente em função de α, β e γ substituindo x e t:
x=α^2β,
t=γ^2α,
$$u(α,β,γ)=x
e{t}=α{2}β,e{2}α}.$$

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia. Como u=x
e^{t}, temos:
∂u∂α=∂u∂x∂x∂α+∂u∂t∂t∂α

Passo 4

Como ∂u/∂x=e^{t}, ∂x/∂α=2αβ, ∂u/∂t=x
e^{t} e ∂t/∂α=γ^{2}, então
$$\frac{∂u}{∂α}=e^{t}(2αβ)+x
e{t}(γ{2})=e{t}\bigl(2αβ+xγ{2}\bigr).$$

Passo 5

Para ∂u/∂β só x depende de β, então
∂u∂β=∂u∂x∂x∂β=e^t(α^2)

Passo 6

Para ∂u/∂γ só t depende de γ, logo
$$\frac{∂u}{∂γ}=\frac{∂u}{∂t}\frac{∂t}{∂γ}=x
e^{t}(2γα).$$

Passo 7

Calculamos agora em α=−1, β=2, γ=1:
x=α^2β=1·2=2,
t=γ^2α=1·(−1)=−1,
e^t=e^-1=1/e

Passo 8

Substituindo:
∂u∂α=1e(2·(−1)·2+2·1^2)=-2e,
∂u∂β=1e,
∂u∂γ=2·(−1)·1·2cdot1e=-4e

Passo 9

Finalmente, o produto dos três deriva dos no ponto dado é
l(-tfrac2er)l(tfrac1er)l(-tfrac4er)=8e^3

Resposta

8e^3

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