Derivar
Passo 1
O enunciado dá a função intermediária u em termos de x e t: u(x,t)=x
e^{t}, com x=α^{2}β e t=γ^{2}α. Precisamos aplicar a regra da cadeia para achar ∂u/∂α, ∂u/∂β e ∂u/∂γ e depois multiplicar esses três resultados no ponto α=−1, β=2, γ=1.
e^{t}, com x=α^{2}β e t=γ^{2}α. Precisamos aplicar a regra da cadeia para achar ∂u/∂α, ∂u/∂β e ∂u/∂γ e depois multiplicar esses três resultados no ponto α=−1, β=2, γ=1.
Passo 2
Primeiro escrevemos u explicitamente em função de α, β e γ substituindo x e t:
$$u(α,β,γ)=x
e{t}=α{2}β,e{γ{2}α}.$$
Passo 3
Agora aplicamos a regra da cadeia. Como u=x
e^{t}, temos:
e^{t}, temos:
Passo 4
Como ∂u/∂x=e^{t}, ∂x/∂α=2αβ, ∂u/∂t=x
e^{t} e ∂t/∂α=γ^{2}, então
e^{t} e ∂t/∂α=γ^{2}, então
$$\frac{∂u}{∂α}=e^{t}(2αβ)+x
e{t}(γ{2})=e{t}\bigl(2αβ+xγ{2}\bigr).$$
Passo 5
Para ∂u/∂β só x depende de β, então
Passo 6
Para ∂u/∂γ só t depende de γ, logo
$$\frac{∂u}{∂γ}=\frac{∂u}{∂t}\frac{∂t}{∂γ}=x
e^{t}(2γα).$$
Passo 7
Calculamos agora em α=−1, β=2, γ=1:
Passo 8
Substituindo:
Passo 9
Finalmente, o produto dos três deriva dos no ponto dado é