Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas d zd t das funções:
z=raizx^2+y^2, para x=e^2 t e y=e^-2 t;

Passo 1

O enunciado pede para usar a Regra da Cadeia em z= raizx^2+y^2, com x= e^2t e y= e^-2t. O conteúdo aqui é derivação de função composta de várias variáveis; vamos precisar das derivadas parciais partial zpartial x, partial zpartial y e das derivadas dxdt, dydt.

Passo 2

Primeiro, calcule as derivadas parciais de z= (x^2+y^2)^1/2. Aplicando a regra da potência e cadeia interna temos:
partial zpartial x=12(x^2+y^2)^-1/2cdot 2x=xraizx^2+y^2,
partial zpartial y=12(x^2+y^2)^-1/2cdot 2y=yraizx^2+y^2

Passo 3

Agora, derive x e y em relação a t. Como x= e^2t e y= e^-2t,
dxdt=2e^2t=2x,
dydt=-2e^-2t=-2y

Passo 4

Com tudo na mão, aplique a Regra da Cadeia:
dzdt=partial zpartial xdxdt+partial zpartial ydydt =xraizx^2+y^2cdot(2x)+yraizx^2+y^2cdot(-2y)

Passo 5

Agrupando e fatorando 2:
dzdt=2x^2-2y^2raizx^2+y^2=2x^2-y^2raizx^2+y^2

Passo 6

Por fim, substituindo x^2= e^4t e y^2= e^-4t,
dzdt=2e^4t-e^-4traize^4t+e^-4t

Resposta

dzdt=2x^2-y^2raizx^2+y^2, ou substituindo x= e^2t e y= e^-2t: 2e^4t-e^-4traize^4t+e^-4t

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