Explique por que as funções abaixo são diferenciáveis:
f(x, y)=e^x-y^2;

Passo 1

Estamos com a função f(x,y)=e{x-y{2}} e queremos mostrar que ela é diferenciável no sentido de funções de duas variáveis. O conteúdo aqui é diferenciabilidade via regra da cadeia e propriedades de funções elementares; vamos precisar mostrar que as derivadas parciais existem e são contínuas.

Passo 2

Definimos g(x,y)=x-y^{2}, que é um polinômio em x e y. Como todo polinômio é de classe C^{} (na verdade C^{}∞), g é diferenciável em todo ℝ². A seguir, consideramos h(u)=e^{u}, que é também de classe C^{}∞ em todo ℝ.

Passo 3

Pela regra da cadeia para funções de várias variáveis, a composição f(x,y)=h(g(x,y)) é diferenciável sempre que g e h forem diferenciáveis. Para ficar mais explícito, calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x(x,y)=e^x-y^2cdotpartialpartial x(x-y^2)=e^x-y^2cdot 1=e^x-y^2,
partial fpartial y(x,y)=e^x-y^2cdotpartialpartial y(x-y^2)=e^x-y^2cdot(-2y)=-2y,e^x-y^2
Essas derivadas são expressas por funções contínuas em (x,y), pois produto e exponencial de funções contínuas continuam sendo contínuos.

Passo 4

Como as derivadas parciais existem em todo ℝ² e são contínuas, concluímos que f é de classe C^{1} e, portanto, diferenciável em todo ℝ².

Resposta

A função f(x,y)=e{x-y{2}} é diferenciável em todo ℝ² pois é composição de funções de classe C^{∞}, cujas derivadas parciais existem e são contínuas.

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