Explique por que as funções abaixo são diferenciáveis:
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Passo 1
Estamos com a função f(x,y)=e{x-y{2}} e queremos mostrar que ela é diferenciável no sentido de funções de duas variáveis. O conteúdo aqui é diferenciabilidade via regra da cadeia e propriedades de funções elementares; vamos precisar mostrar que as derivadas parciais existem e são contínuas.
Passo 2
Definimos g(x,y)=x-y^{2}, que é um polinômio em x e y. Como todo polinômio é de classe C^{} (na verdade C^{}∞), g é diferenciável em todo ℝ². A seguir, consideramos h(u)=e^{u}, que é também de classe C^{}∞ em todo ℝ.
Passo 3
Pela regra da cadeia para funções de várias variáveis, a composição f(x,y)=h(g(x,y)) é diferenciável sempre que g e h forem diferenciáveis. Para ficar mais explícito, calculamos as derivadas parciais de f:
Essas derivadas são expressas por funções contínuas em (x,y), pois produto e exponencial de funções contínuas continuam sendo contínuos.
Passo 4
Como as derivadas parciais existem em todo ℝ² e são contínuas, concluímos que f é de classe C^{1} e, portanto, diferenciável em todo ℝ².
Resposta
A função f(x,y)=e{x-y{2}} é diferenciável em todo ℝ² pois é composição de funções de classe C^{∞}, cujas derivadas parciais existem e são contínuas.