Derivar e Siuplificar
y=e^a x(a cdot cos b x+b cdot sen b x)a^2+b^2

Passo 1

Vamos derivar e simplificar a função y=e^ax(acos(bx)+bsin(bx))a^2+b^2. Isso envolve derivadas: regra do produto, regra da cadeia, derivada de exponencial e de funções trigonométricas.

Passo 2

Perceba que a^2+b^2 é constante. Escrevemos:
y=1a^2+b^2,w(x)
com
w(x)=e^ax(acos(bx)+bsin(bx))
Logo,
y'=1a^2+b^2w'(x)

Passo 3

Agora vamos achar w'(x) usando regra do produto em w(x)=u(x)v(x) onde u(x)=e^ax e v(x)=acos(bx)+bsin(bx). As derivadas são:
u'(x)=a e^ax, v'(x)=-absin(bx)+b^2cos(bx)

Passo 4

Aplicando w'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) e fatorando e^ax, obtemos:
w'(x)=e^axl(a(acos(bx)+bsin(bx))+(-absin(bx)+b^2cos(bx))r)

Passo 5

Dentro dos parênteses, os termos se reúnem assim:
a(acos(bx)+bsin(bx))+(-absin(bx)+b^2cos(bx))=(a^2+b^2)cos(bx)
Logo,
w'(x)=(a^2+b^2)e^axcos(bx)

Passo 6

Voltando ao passo 2, temos y'=1a^2+b^2w'(x). Como w'(x)=(a^2+b^2)e^axcos(bx), o fator a^2+b^2 cancela, restando e^axcos(bx).

Resposta

y'=e^axcos(bx)

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