Derivar e Siuplificar
y=log e tg(pi4+x2)

Passo 1

O enunciado pede para derivar e simplificar a função y = lnl(tan(tfracpi4 + tfracx2)r). O assunto aqui é derivada de logaritmo natural e regra da cadeia aplicadas à função tangente.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia para logaritmo natural, temos:
y' = ddxlnl(tanthetar) = 1tantheta cdot ddxl(tanthetar),
onde theta = tfracpi4 + tfracx2.

Passo 3

Agora derivamos tantheta usando que ddthetatantheta = sec^2theta e dthetadx = tfrac12. Logo:
ddxtantheta = sec^2theta cdot 12 = sec^2theta2

Passo 4

Substituindo de volta em y' e simplificando:
y' = 1tantheta cdot sec^2theta2 = sec^2theta2tantheta

Passo 5

Sabendo que sec^2theta/tantheta = 1/(costhetasintheta) e que 2theta = pi/2 + x então sin(2theta)=cos x, obtemos:
y' = 12costhetasintheta = 1sin(2theta) = 1cos x = sec x

Resposta

y' = sec x

Exercícios relacionados